Questão 3-(2,5 \mathrm{pts}) Usando integral dupla, determine a área da região limitada por
2 y=16-x^{2} \cdot \quad \text { e } \quad x+2 y+4=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
2y = 16 - x^{2}
e
x + 2y + 4 = 0.
Informações fornecidas:
  • A primeira curva pode ser escrita como \displaystyle y = 8 - \frac{x^{2}}{2}.
  • A segunda reta pode ser escrita como \displaystyle y = -\frac{x}{2} - 2.
  • A tarefa é calcular a área da região fechada por essas duas curvas usando integral dupla (isto é, expressar a área como \iint_{R} 1\,dA e calcular).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das duas curvas (esses pontos definirão os limites em x para a integral iterada). Igualamos as expressões de y:
8 - \frac{x^{2}}{2} = -\frac{x}{2} - 2.
Multiplicando por 2 para eliminar denominadores:
16 - x^{2} = -x - 4.
Reorganizando em forma polinomial:
x^{2} - x - 20 = 0.
Resolvendo a equação quadrática (fórmula de Bhaskara). O discriminante é
\Delta = (-1)^{2} - 4\cdot1\cdot(-20) = 1 + 80 = 81,
logo \sqrt{\Delta}=9. As raízes são
x=\frac{1\pm 9}{2}.
Portanto
x_{1}=-4,\qquad x_{2}=5.
Esses serão os limites em x.

Passo 3

Descrever a região R e escolher ordem de integração. Para um x fixo entre -4 e 5, a reta tem ordenada
y_{\text{reta}}(x)=-\frac{x}{2}-2
e a parábola tem ordenada
y_{\text{par}}(x)=8-\frac{x^{2}}{2}.
Testando, por exemplo em x=0, temos y_{\text{par}}(0)=8 e y_{\text{reta}}(0)=-2, então a parábola está acima da reta no intervalo. Logo, a região R é
R=\{(x,y)\mid -4\le x\le 5,\; -\tfrac{x}{2}-2 \le y \le 8-\tfrac{x^{2}}{2}\}.
A área é dada pela integral dupla
\text{Área}=\iint_{R} 1\,dA = \int_{x=-4}^{5}\int_{y=-\frac{x}{2}-2}^{\,8-\frac{x^{2}}{2}} 1\,dy\,dx.Á

Passo 4

Calcular a integral interna em y. Integrando 1 em relação a y entre as fronteiras, obtemos a diferença das ordens:
\int_{y=-\frac{x}{2}-2}^{\,8-\frac{x^{2}}{2}} 1\,dy = \left.\,y\right|_{y=-\frac{x}{2}-2}^{\,8-\frac{x^{2}}{2}} = \left(8-\frac{x^{2}}{2}\right)-\left(-\frac{x}{2}-2\right).
Simplificando:
\left(8-\frac{x^{2}}{2}\right)-\left(-\frac{x}{2}-2\right) = 8 + 2 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} = 10 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Agora a integral dupla reduz-se à integral simples em x:
\text{Área}=\int_{-4}^{5}\left(10 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{2}\right)dx.Á
Vou explicar rapidamente as regras de integração que usarei:
  • \displaystyle \int a\,dx = a x para constante a.
  • \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
    Aplicando termo a termo:

Passo 6

Calcular a primitiva (antiderivada) da função integranda:
\int\left(10 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{2}\right)dx = 10x + \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{3}}{6} + C.
(Verificação rápida: derivando 10x obtém-se 10; derivando \frac{x^{2}}{4} obtém-se \frac{x}{2}; derivando -\frac{x^{3}}{6} obtém-se -\frac{x^{2}}{2}.)

Passo 7

Avaliar a primitiva nos limites x=-4 e x=5:
Calcule F(x)=10x+\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{x^{3}}{6}.
Para x=5:
F(5)=10\cdot 5 + \frac{5^{2}}{4} - \frac{5^{3}}{6} =50 + \frac{25}{4} - \frac{125}{6}.
Colocando em denominador comum 12:
50=\frac{600}{12},\quad \frac{25}{4}=\frac{75}{12},\quad \frac{125}{6}=\frac{250}{12},
logo
F(5)=\frac{600+75-250}{12}=\frac{425}{12}.
Para x=-4:
F(-4)=10\cdot(-4)+\frac{(-4)^{2}}{4}-\frac{(-4)^{3}}{6} = -40 + \frac{16}{4} - \frac{-64}{6} = -40 + 4 + \frac{64}{6}.
Simplificando \frac{64}{6}=\frac{32}{3}, então
F(-4)= -40 + 4 + \frac{32}{3} = -36 + \frac{32}{3} = -\frac{108}{3}+\frac{32}{3} = -\frac{76}{3}.

Passo 8

Subtrair F(-4) de F(5) para obter a área:
\text{Área} = F(5)-F(-4)=\frac{425}{12} -\left(-\frac{76}{3}\right) = \frac{425}{12} + \frac{76}{3}.Á
Transformando \dfrac{76}{3}=\dfrac{304}{12}, obtemos
\text{Área} = \frac{425+304}{12} = \frac{729}{12}.Á
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 3):
\frac{729}{12}=\frac{243}{4}.
Em forma decimal isso é 60{,}75, mas a forma fracionária exata é mais elegante: \dfrac{243}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{243}{4}

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