Questão
Usando integral dupla, determine a área da região limitada por
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
Informações fornecidas:
- A primeira curva pode ser escrita como
- A segunda reta pode ser escrita como
- A tarefa é calcular a área da região fechada por essas duas curvas usando integral dupla (isto é, expressar a área como
e calcular).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das duas curvas (esses pontos definirão os limites em
para a integral iterada). Igualamos as expressões de
:
Multiplicando por
para eliminar denominadores:
Reorganizando em forma polinomial:
Resolvendo a equação quadrática (fórmula de Bhaskara). O discriminante é
logo
. As raízes são
Portanto
Esses serão os limites em
.
Passo 3
Descrever a região
e escolher ordem de integração. Para um
fixo entre
e
, a reta tem ordenada
e a parábola tem ordenada
Testando, por exemplo em
, temos
e
, então a parábola está acima da reta no intervalo. Logo, a região
é
A área é dada pela integral dupla
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Integrando
em relação a
entre as fronteiras, obtemos a diferença das ordens:
Simplificando:
Passo 5
Agora a integral dupla reduz-se à integral simples em
:
Vou explicar rapidamente as regras de integração que usarei:
-
para constante . -
para .
Aplicando termo a termo:
Passo 6
Calcular a primitiva (antiderivada) da função integranda:
(Verificação rápida: derivando
obtém-se
; derivando
obtém-se
; derivando
obtém-se
.)
Passo 7
Avaliar a primitiva nos limites
e
:
Calcule .
Calcule
Para
:
Colocando em denominador comum
:
logo
Para
:
Simplificando
, então
Passo 8
Subtrair
de
para obter a área:
Transformando
, obtemos
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por
):
Em forma decimal isso é
, mas a forma fracionária exata é mais elegante:
.