Calcule o nível sonoro em \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} considerando o nível de referência em 10^{-12} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} para os seguintes casos: 10 \mathrm{~dB},-10 \mathrm{~dB}, 0 \mathrm{~dB}. Calcule o nível sonoro em dB para os seguintes casos: 10^{-} { }^{9} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, 10^{-6} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} e 3.10^{-10} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular intensidades sonoras em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} a partir de níveis em decibéis, e calcular níveis em dB a partir de intensidades em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}. Informação dada (constante que usaremos em todo o problema): a intensidade de referência é
I_0 = 10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
As perguntas específicas são:
  1. Calcular I em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} para os níveis 10\\ \mathrm{dB}, -10\\ \mathrm{dB} e 0\\ \mathrm{dB}.
  2. Calcular L em \mathrm{dB} para as intensidades 10^{-9}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}, 10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} e 3\cdot 10^{-10}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 2

Fórmula fundamental que relaciona nível sonoro L (em decibéis) e intensidade I (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}):
L = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right).
Explicando cada símbolo:
  • L é o nível sonoro em decibéis ( \mathrm{dB}).
  • I é a intensidade sonora que queremos (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}).
  • I_0 é a intensidade de referência (aqui 10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}).
    Essa fórmula vem da definição de decibel como uma escala logarítmica onde um aumento de 10\\ \mathrm{dB} corresponde a multiplicar a intensidade por 10.
Para obter I a partir de L isolamos I:
\frac{I}{I_0} = 10^{L/10}\quad\Rightarrow\quad I = I_0\,10^{L/10}.

Passo 3

Calcular I para L=10\\ \mathrm{dB}. Substituindo na fórmula:
I = I_0\,10^{L/10} = 10^{-12}\cdot 10^{10/10}.
Como 10^{10/10}=10^{1}=10, temos
I = 10^{-12}\cdot 10 = 10^{-11}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Interpretação rápida: 10\\ \mathrm{dB} é 10 vezes mais intenso que a referência.

Passo 4

Calcular I para L=-10\\ \mathrm{dB}. Substituindo:
I = 10^{-12}\cdot 10^{-10/10}=10^{-12}\cdot 10^{-1}.
Então
I = 10^{-13}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Comentário: nível negativo em dB significa intensidade menor que a referência.

Passo 5

Calcular I para L=0\\ \mathrm{dB}. Substituindo:
I = 10^{-12}\cdot 10^{0/10}=10^{-12}\cdot 1.
Logo
I = 10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},
o que faz sentido porque 0\\ \mathrm{dB} é precisamente a intensidade de referência.

Passo 6

Agora vamos inverter: dado I, calcular L. Usamos a fórmula
L = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right).
Vou aplicar passo a passo para cada intensidade dada.

Passo 7

Caso I = 10^{-9}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}. Primeiro calcule a razão:
\frac{I}{I_0} = \frac{10^{-9}}{10^{-12}} = 10^{3}.
Agora
L = 10\log_{10}(10^{3}) = 10\cdot 3 = 30\\ \mathrm{dB}.

Passo 8

Caso I = 10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}. Razão:
\frac{I}{I_0} = \frac{10^{-6}}{10^{-12}} = 10^{6}.
Então
L = 10\log_{10}(10^{6}) = 10\cdot 6 = 60\\ \mathrm{dB}.

Passo 9

Caso I = 3\cdot 10^{-10}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}. Começamos pela razão:
\frac{I}{I_0} = \frac{3\cdot 10^{-10}}{10^{-12}} = 3\cdot 10^{2} = 300.
Aplicando a fórmula:
L = 10\log_{10}(300) = 10\big(\log_{10}(3)+\log_{10}(10^{2})\big).
Como \log_{10}(10^{2})=2 e \log_{10}(3)\approx 0,477121, temos
L \approx 10(0,477121+2)=10(2,477121)=24,77121\\ \mathrm{dB}.
Arredondando razoavelmente:
L \approx 24,77\\ \mathrm{dB}.

Resposta

10\\ \mathrm{dB} \rightarrow 1\times 10^{-11}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}
-10\\ \mathrm{dB} \rightarrow 1\times 10^{-13}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}
0\\ \mathrm{dB} \rightarrow 1\times 10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}
10^{-9}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} \rightarrow 30\\ \mathrm{dB}
10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} \rightarrow 60\\ \mathrm{dB}
3\cdot 10^{-10}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} \rightarrow 24,77\\ \mathrm{dB}

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