Duas ondas sonoras, produzidas por duas fontes diferentes de mesma frequência, 540 Hz , se propagam na mesma direção e no mesmo sentido a 330 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. As fontes estão em fase. Qual é a diferença de fase das ondas em um ponto que está a 3,61 \mathrm{~m} de uma fonte e a 3,00 \mathrm{~m} da outra?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Frequência das duas fontes: \;f=540\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade do som: \;v=330\\ \mathrm{m/s}.
  • As duas fontes estão em fase inicialmente.
  • Distâncias do ponto às fontes: \;r_1=3,61\\ \mathrm{m} e \;r_2=3,00\\ \mathrm{m}.
  • Pergunta: Qual é a diferença de fase \Delta\varphi das ondas nesse ponto?
Essas são todas as informações relevantes do enunciado; agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Entender o que é a comprimento de onda e como calculá‑lo. A velocidade v, a frequência f e o comprimento de onda \lambda estão ligados pela relação
\lambda=\frac{v}{f},
onde
  • \lambda é o comprimento de onda (m),
  • v é a velocidade da onda (m/s),
  • f é a frequência (Hz).
Isso faz sentido físico: em cada segundo a onda avança uma distância v, e em cada segundo ocorrem f oscilações; dividindo obtemos a distância entre cristas consecutivas.

Passo 3

Calcular \lambda com os valores dados:
\lambda=\frac{v}{f}=\frac{330}{540}=\frac{11}{18}\\ \mathrm{m}\approx 0,611111\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a diferença de caminhos percorridos pelas duas ondas até o ponto. A diferença de percurso é
\Delta r = |r_1-r_2| = |3,61-3,00|=0,61\\ \mathrm{m}.
Explico: a diferença de fase no ponto depende apenas da diferença de distância que cada onda percorreu (porque as fontes começaram em fase).

Passo 5

Relação entre diferença de percurso e diferença de fase. Uma volta completa em fase (uma diferença de fase de 2\pi rad) corresponde a uma diferença de percurso de uma comprimento de onda \lambda. Portanto
\Delta\varphi = 2\pi\frac{\Delta r}{\lambda},
onde
  • \Delta\varphi está em radianos,
  • \Delta r é a diferença de percurso (m),
  • \lambda é o comprimento de onda (m).

Passo 6

Substituir os valores na fórmula. Usando \lambda=\tfrac{11}{18}\\ \mathrm{m} e \Delta r=0,61\\ \mathrm{m}:
\frac{\Delta r}{\lambda}=\frac{0,61}{11/18}=\frac{0,61\cdot 18}{11}=\frac{10,98}{11}\approx 0,9981818\ldots
Logo
\Delta\varphi=2\pi\cdot 0,9981818\ldots \approx 6,2717613339\\ \text{rad}.

Passo 7

Interpretação e conversão para graus (opcional, ajuda na intuição). Para passar para graus multiplicamos por \dfrac{180}{\pi}:
\Delta\varphi\approx 6,2717613339\cdot\frac{180}{\pi}\approx 359,34^\circ.
Isso significa que a diferença de fase é praticamente 360^\circ, isto é, quase zero modulo 360^\circ. Em outras palavras, as ondas chegam quase em fase (diferença de apenas cerca de -0,66^\circ se preferirmos um ângulo pequeno e negativo).

Passo 8

Resumo físico: embora as fontes tivessem começado exatamente em fase, a diferença de caminho de \,0,61\\ \mathrm{m}\, corresponde a quase uma onda completa, então no ponto as ondas estão quase em fase completa (quase máxima interferência construtiva).

Resposta

\Delta\varphi \approx 6,2718\\ \mathrm{rad}
\Delta\varphi \approx 359,34^\circ (equivalente a -0,66^\circ módulo 360^\circ)

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