Calcule a norma das funções abaixo no intervalo dado.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a norma da função $ f(x) = x $ no intervalo
. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de norma de funções, que é uma maneira de medir o “tamanho” ou a “magnitude” de uma função em um determinado intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a norma, que geralmente envolve integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir qual tipo de norma vamos usar. A mais comum é a norma $ L^2 $, que é a raiz quadrada da integral do quadrado da função no intervalo dado. A fórmula para a norma $ L^2 $ é:
No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 2 $, e $ f(x) = x $.
Passo 3
Vamos calcular o quadrado da função $ f(x) $:
Então, a integral que precisamos resolver é:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de $ x^2 $ é $ \frac{x^3}{3} $. Vamos avaliar isso de
a
:
Passo 5
Agora que temos o valor da integral, vamos calcular a norma $ L^2 $:
Resposta
A norma da função $ f(x) = x $ no intervalo
é: