Por que dizemos que o conjunto dos números irracionais não é enumerável?
Passo 1
Então, a questão que temos aqui é: “Por que dizemos que o conjunto dos números irracionais não é enumerável?”. Vamos trabalhar com os conceitos de números racionais e números irracionais, além de entender o que significa um conjunto ser enumerável (ou contável). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre teoria dos conjuntos e propriedades dos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são números racionais e irracionais. Números racionais são aqueles que podem ser escritos como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Por exemplo,
,
, e
são racionais.
Já os números irracionais são aqueles que não podem ser escritos dessa forma. Eles têm decimais infinitos e não periódicos. Exemplos famosos são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre enumerabilidade. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser listados em uma sequência, como uma lista infinita (1, 2, 3, 4, …). Isso significa que podemos, em teoria, contar todos os elementos, mesmo que sejam infinitos.
Os números racionais são enumeráveis porque podemos organizá-los em uma sequência. Por exemplo, podemos listar todas as frações possíveis de forma ordenada.
Passo 4
Por outro lado, o conjunto dos números reais (que inclui tanto os racionais quanto os irracionais) não é enumerável. Isso foi provado por Georg Cantor usando o famoso diagonalizador de Cantor. A ideia principal é que, não importa como você tente listar todos os números reais, sempre há números que não estão na lista, mostrando que não podemos enumerá-los completamente.
Passo 5
Como os números irracionais compõem a maior parte dos números reais (já que os racionais são contáveis e os reais não são), se subtrairmos o conjunto enumerável dos racionais do conjunto dos reais, o que sobra são os irracionais. Essa diferença entre um conjunto não enumerável e um conjunto enumerável resulta em um conjunto não enumerável.
Passo 6
Portanto, já que os números reais são não enumeráveis e os números racionais são enumeráveis, os números irracionais, que são a diferença entre esses dois conjuntos, também não são enumeráveis.
Resposta
Dessa forma, o conjunto dos números irracionais não é enumerável porque, ao removermos os números racionais (que são enumeráveis) do conjunto dos números reais (que são não enumeráveis), o que resta são os irracionais, que continuam formando um conjunto não enumerável.