o intervalo dado e decida se as funções são ortogonais ou não.

Passo 1

Então, a gente tem duas funções, $ f_{1}(x) = x $ e $ f_{2}(x) = \sin x $, e precisa descobrir se elas são ortogonais no intervalo de f1(x) = x a f2(x) = sin x . Isso faz parte do estudo de funções ortogonais na matemática, que basicamente verifica se duas funções são “perpendiculares” umas às outras no sentido de um produto interno. Para resolver isso, vamos calcular a integral do produto das duas funções nesse intervalo e ver se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser ortogonais. Duas funções são ortogonais no intervalo [a, b] se a integral do produto delas nesse intervalo for igual a zero. Matematicamente, isso é escrito assim:
integrala^b f1(x) cdot f2(x) , dx = 0
No nosso caso, $ a = -\pi $ e $ b = \pi $.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral com as funções que temos:
integral-pi^pi x cdot sin x , dx
Precisamos calcular essa integral para ver se ela é igual a zero.

Passo 4

Para resolver a integral $ \int x \sin x , dx $, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral x sin x , dx
Vamos escolher:
integral u , dv = uv - integral v , du
u = x Rightarrow du = dx
Aplicando a fórmula:
dv = sin x , dx Rightarrow v = -cos x
Agora, vamos avaliar essa expressão de integral x sin x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x + C a -pi:
pi

Passo 5

Vamos calcular nos limites:
Para $ x = \pi $:
x = pi
Para $ x = -\pi $:
-pi cos pi + sin pi = -pi (-1) + 0 = pi
Agora, subtraindo:
x = -pi

Resposta

A integral do produto das funções é $ 2\pi $, que não é zero. Portanto, as funções $ f_{1}(x) = x $ e $ f_{2}(x) = \sin x $ não são ortogonais no intervalo 2pi .

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