Calcule a norma das funções abaixo no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a norma da função $ f(x) = x^{3} $ no intervalo
. Então, aqui estamos trabalhando com normas de funções, que ajudam a medir o “tamanho” ou “intensidade” de uma função dentro de um intervalo específico. Para resolver isso, vamos usar o conceito de norma $ L^2 $, que envolve integrar o quadrado da função no intervalo dado e depois tirar a raiz quadrada desse resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a norma $ L^2 $. A norma $ L^2 $ de uma função $ f(x) $ no intervalo
é dada por:
Isso significa que a gente vai elevar a função ao quadrado, integrar esse resultado de
a
, e depois tirar a raiz quadrada desse valor.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa função $ f(x) = x^{3} $. Primeiro, elevamos $ f(x) $ ao quadrado:
Então, a gente vai integrar $ x^{6} $ de
a
.
Passo 4
Vamos calcular a integral de $ x^{6} $ de
a
:
Sabemos que a integral de $ x^{n} $ é
. Então,
Agora, aplicamos os limites de
a
:
Passo 5
Agora que temos o valor da integral, vamos tirar a raiz quadrada para encontrar a norma $ L^2 $:
Resposta
A norma da função $ f(x) = x^{3} $ no intervalo
é $ \frac{\sqrt{14}}{7} $.