Calcule a norma das funções abaixo no intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a norma da função $ f(x) = x^{3} $ no intervalo f(x) = x^3 . Então, aqui estamos trabalhando com normas de funções, que ajudam a medir o “tamanho” ou “intensidade” de uma função dentro de um intervalo específico. Para resolver isso, vamos usar o conceito de norma $ L^2 $, que envolve integrar o quadrado da função no intervalo dado e depois tirar a raiz quadrada desse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a norma $ L^2 $. A norma $ L^2 $ de uma função $ f(x) $ no intervalo L^2 é dada por:
L^2
Isso significa que a gente vai elevar a função ao quadrado, integrar esse resultado de f(x) a [a, b], e depois tirar a raiz quadrada desse valor.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa função $ f(x) = x^{3} $. Primeiro, elevamos $ f(x) $ ao quadrado:
f(x) = x^3
Então, a gente vai integrar $ x^{6} $ de f(x) a [f(x)]^2 = (x^3)^2 = x^6 .

Passo 4

Vamos calcular a integral de $ x^{6} $ de x^6 a -1:
1
Sabemos que a integral de $ x^{n} $ é integral-1^1 x^6 dx . Então,
x^n
Agora, aplicamos os limites de x^n+1n+1 a integral x^6 dx = x^77 + C :
-1

Passo 5

Agora que temos o valor da integral, vamos tirar a raiz quadrada para encontrar a norma $ L^2 $:
L^2

Resposta

A norma da função $ f(x) = x^{3} $ no intervalo f(x) = x^3 é $ \frac{\sqrt{14}}{7} $.

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