Ache três números reais positivos cuja soma seja 1000 e cujo produto seja máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A ideia é encontrar três números positivos que somem 1000 e que, quando multiplicados entre si, dêem o maior produto possível. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo e álgebra. Precisamos entender como maximizar o produto usando a condição da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os três números de $ x $, $ y $ e $ z $. Sabemos que:
x
Nosso objetivo é maximizar o produto:
y

Passo 3

Para facilitar, podemos usar uma técnica chamada de substituição. Vamos expressar dois dos números em função do terceiro. Por exemplo, vamos assumir que os três números são iguais, já que, geralmente, para maximizar o produto com uma soma fixa, os números iguais dão o melhor resultado.
Então, vamos supor que:
x = y = z

Passo 4

Substituindo na equação da soma:
x + x + x = 1000
3x = 1000
x = 10003
x approx 333,33
Então, cada número seria aproximadamente 333,33.

Passo 5

Agora, vamos verificar o produto:
P = 333,33 times 333,33 times 333,33
P approx 37.037.037

Passo 6

Portanto, os três números que somam 1000 e têm o produto máximo são aproximadamente 333,33 cada um, e o produto máximo é cerca de 37.037.037.

Resposta

Os três números são aproximadamente $ 333{,}33 $, $ 333{,}33 $ e $ 333{,}33 $, com um produto máximo de cerca de $ 37.037.037 $.

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