Calcule a norma das funções abaixo no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a norma da função $ f(x) = x e^{-x} - e^{-x} $ no intervalo de 0 a 2. Aqui estamos trabalhando com norma de funções, que geralmente se refere à norma $ L^2 $, ou seja, a raiz quadrada da integral do quadrado da função. Para isso, vamos precisar integrar a função ao quadrado nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x) $:
Isso vai facilitar nossos cálculos depois.
Passo 3
A norma $ L^2 $ de $ f(x) $ no intervalo [0,2] é dada por:
Então, vamos primeiro calcular o quadrado da função:
Passo 4
Agora, precisamos integrar $ e^{-2x}(x - 1)^2 $ de 0 a 2:
Para resolver essa integral, vamos expandir $ (x - 1)^2 $:
Então, a integral fica:
Podemos separar isso em três integrais:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Usaremos integração por partes para as duas primeiras e integração direta para a terceira.
Primeira integral:
Segunda integral:
Terceira integral:
Passo 6
Resolvendo a segunda integral:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Passo 7
Agora, a primeira integral:
Usando integração por partes duas vezes, obtemos:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Passo 8
Agora, juntando todas as integrais:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, a norma é a raiz quadrada dessa integral:
Simplificando dentro da raiz:
Resposta
A norma da função $ f(x) = x e^{-x} - e^{-x} $ no intervalo [0,2] é: