Calcule a norma das funções abaixo no intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a norma da função $ f(x) = x e^{-x} - e^{-x} $ no intervalo de 0 a 2. Aqui estamos trabalhando com norma de funções, que geralmente se refere à norma $ L^2 $, ou seja, a raiz quadrada da integral do quadrado da função. Para isso, vamos precisar integrar a função ao quadrado nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x) $:
f(x)
Isso vai facilitar nossos cálculos depois.

Passo 3

A norma $ L^2 $ de $ f(x) $ no intervalo [0,2] é dada por:
L^2
Então, vamos primeiro calcular o quadrado da função:
f(x)

Passo 4

Agora, precisamos integrar $ e^{-2x}(x - 1)^2 $ de 0 a 2:
e^-2x(x - 1)^2
Para resolver essa integral, vamos expandir $ (x - 1)^2 $:
integral0^2 e^-2x(x - 1)^2 , dx
Então, a integral fica:
(x - 1)^2
Podemos separar isso em três integrais:
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Usaremos integração por partes para as duas primeiras e integração direta para a terceira.
Primeira integral:
integral x^2 e^-2x , dx
Segunda integral:
integral x e^-2x , dx
Terceira integral:
integral e^-2x , dx = ( -12 e^-2x ) |0^2 = -12 e^-4 + 12

Passo 6

Resolvendo a segunda integral:
integral x e^-2x , dx = -x2 e^-2x + 14 e^-2x + C
Aplicando os limites de 0 a 2:
( -22 e^-4 + 14 e^-4 ) - ( 0 + 14 ) = -e^-4 + 14 e^-4 - 14 = -34 e^-4 - 14

Passo 7

Agora, a primeira integral:
integral x^2 e^-2x , dx
Usando integração por partes duas vezes, obtemos:
integral x^2 e^-2x , dx = ( -x^22 e^-2x ) + integral x e^-2x , dx = -x^22 e^-2x - x2 e^-2x - 14 e^-2x + C
Aplicando os limites de 0 a 2:
( -42 e^-4 - 22 e^-4 - 14 e^-4 ) - ( 0 - 0 - 14 ) = -2 e^-4 - e^-4 - 14 e^-4 + 14 = -3 14 e^-4 + 14

Passo 8

Agora, juntando todas as integrais:
integral0^2 e^-2x(x - 1)^2 , dx = ( -134 e^-4 + 14 ) - 2 ( -34 e^-4 - 14 ) + ( -12 e^-4 + 12 )
Simplificando:
-134 e^-4 + 14 + 32 e^-4 + 12 - 12 e^-4 + 12
= ( -134 + 32 - 12 ) e^-4 + ( 14 + 12 + 12 )
= -134 + 64 - 24 = -94 e^-4 + 54

Passo 9

Finalmente, a norma é a raiz quadrada dessa integral:
|f| = raiz -94 e^-4 + 54
Simplificando dentro da raiz:
|f| = raiz 5 - 9 e^-44 = raiz5 - 9 e^-4 2

Resposta

A norma da função $ f(x) = x e^{-x} - e^{-x} $ no intervalo [0,2] é:
f(x) = x e^-x - e^-x

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