Calcule as normas dos vetores espaciais a seguir:
n=(12, raiz302, 12)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a norma do vetor espacial n = (12, raiz302, 12). A norma de um vetor é como o comprimento dele no espaço, e para calcular isso, usamos um pouquinho de álgebra básica. Vamos precisar saber como aplicar a fórmula da norma de um vetor tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular a norma de um vetor tridimensional. Se temos um vetor v = (a, b, c), a norma |v| é dada por:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aqui, a gente eleva cada componente do vetor ao quadrado, soma tudo e tira a raiz quadrada do resultado. Isso nos dá o comprimento do vetor no espaço.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao vetor que a gente tem: n = (12, raiz302, 12). Vamos identificar cada componente:
  • a = 12
  • b = raiz302
  • c = 12

Passo 4

Vamos calcular o quadrado de cada componente:
  • a^2 = (12)^2 = 14
  • b^2 = (raiz302)^2 = 304 = 152
  • c^2 = (12)^2 = 14

Passo 5

Agora, somamos esses valores:
a^2 + b^2 + c^2 = 14 + 152 + 14
Para somar, vamos colocar todas as frações com o mesmo denominador. O denominador comum é 4:
14 + 152 = 14 + 304 = 314
Então:
a^2 + b^2 + c^2 = 314 + 14 = 324 = 8

Passo 6

Finalmente, tiramos a raiz quadrada desse resultado para encontrar a norma:
|n| = raiz8 = 2raiz2

Resposta

A norma do vetor n = (12, raiz302, 12) é boxed2raiz2.

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