Calcule a nova solubilidade de Phses, se a solução contiver 0,050 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de \mathrm{SO}_{4}^{2-} devido à adição de \mathrm{Na}_{2} \mathrm{SO}_{4}.

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a nova solubilidade de Phses, se a solução contiver 0,050\\ \mathrm{mol/L} de \mathrm{SO}_{4}^{2-} devido à adição de \mathrm{Na}_{2}\mathrm{SO}_{4}.”
Informações dadas:
  • Concentração inicial do íon comum sulfato: \left[\mathrm{SO}_{4}^{2-}\right]_{\text{inicial}}=0,050\\ \mathrm{mol/L} (pego do enunciado).
  • É pedido determinar a nova solubilidade do sólido “Phses” na presença desse íon comum.
Observação importante (necessária para resolver numericamente): o enunciado NÃO fornece o valor do produto de solubilidade K_{sp} de Phses nem a fórmula/estequiometria explícita do sal. Para obter um valor numérico da solubilidade é imprescindível conhecer K_{sp} (ou a identidade do composto que permita consultar K_{sp}). Portanto vou:
  • mostrar o procedimento passo a passo e a expressão exata que permite calcular a solubilidade em função de K_{sp};
  • dar a aproximação prática usada em provas (efeito do íon comum) e esclarecer quando ela vale;
  • indicar a fórmula final substituindo \left[\mathrm{SO}_{4}^{2-}\right]_{\text{inicial}}=0,050\\ \mathrm{mol/L}. Se quiser o número final, me informe o valor de K_{sp} ou a identidade do composto.

Passo 2

Modelo físico-químico e definição de incógnitas (explicação didática do que é K_{sp} e do “efeito do íon comum”).
  • Supondo a dissociação típica de um sulfato simples com razão 1:1 entre cátion e \mathrm{SO}_4^{2-}, escrevemos a reação de equilíbrio de dissociação do sólido:
\text{Phses}(s)\rightleftharpoons \text{M}^{2+}(aq)+\mathrm{SO}_{4}^{2-}(aq).
Aqui estou assumindo que cada fórmula unitária de Phses libera um íon \mathrm{SO}_4^{2-} e um cátion \text{M}^{2+}. Se a estequiometria fosse diferente, a dedução muda analogamente (vou explicar isso ao final).
  • Defina s como a solubilidade de Phses em mol/L, isto é, a concentração de \text{M}^{2+} que se forma ao dissolver o sólido. Então:
[\text{M}^{2+}]=s, \qquad [\mathrm{SO}_4^{2-}]=\left[\mathrm{SO}_4^{2-}\right]_{\text{inicial}}+s.
  • O produto de solubilidade é definido por:
K_{sp}=[\text{M}^{2+}]\,[\mathrm{SO}_4^{2-}].
Explicação: K_{sp} é uma constante de equilíbrio que indica quão “pouco” ou “muito” o sal se dissolve; para sais pouco solúveis K_{sp} é muito pequeno.

Passo 3

Montagem da equação e resolução exata (passo a passo algébrico).
Substituindo as concentrações em K_{sp}:
K_{sp}=s\left(\left[\mathrm{SO}_4^{2-}\right]_{\text{inicial}}+s\right).
Expandindo:
K_{sp}=s\,\left[\mathrm{SO}_4^{2-}\right]_{\text{inicial}}+s^{2}.
Reescrevendo como equação quadrática em s:
s^{2}+\left[\mathrm{SO}_4^{2-}\right]_{\text{inicial}}\,s-K_{sp}=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para obter a raiz positiva (solubilidade deve ser não-negativa):
s=\frac{-\left[\mathrm{SO}_4^{2-}\right]_{\text{inicial}}+\sqrt{\left(\left[\mathrm{SO}_4^{2-}\right]_{\text{inicial}}\right)^{2}+4\,K_{sp}}}{2}.
Comentário didático: essa é a solução exata que leva em conta tanto o sulfato já presente quanto o sulfato produzido pela dissolução.

Passo 4

Aproximação prática (quando usar e por quê).
  • Na maioria dos casos práticos e em muitas questões de prova, K_{sp} é tão pequeno que s será muito menor que \left[\mathrm{SO}_4^{2-}\right]_{\text{inicial}}. Nesse caso s na soma \left[\mathrm{SO}_4^{2-}\right]_{\text{inicial}}+s pode ser desprezado, e a expressão simplifica-se bastante:
K_{sp}\approx s\,\left[\mathrm{SO}_4^{2-}\right]_{\text{inicial}} \quad\Longrightarrow\quad s\approx\frac{K_{sp}}{\left[\mathrm{SO}_4^{2-}\right]_{\text{inicial}}}.
  • Critério prático de validade: a aproximação é boa quando a solução exata dá s pelo menos 10 vezes menor que \left[\mathrm{SO}_4^{2-}\right]_{\text{inicial}}. Numericamente, como \left[\mathrm{SO}_4^{2-}\right]_{\text{inicial}}=0,050\\ \mathrm{mol/L}, isso requer s\ll0,050 (e tipicamente K_{sp}\ll(0,050)^{2}=0,0025, o que é verdade para quase todos os sulfatos pouco solúveis).

Passo 5

Aplicação do valor numérico de \left[\mathrm{SO}_4^{2-}\right]_{\text{inicial}} e forma final pronta para uso.
Substituindo \left[\mathrm{SO}_4^{2-}\right]_{\text{inicial}}=0,050\\ \mathrm{mol/L} na solução exata:
s=\frac{-0,050+\sqrt{(0,050)^{2}+4\,K_{sp}}}{2}.
E a aproximação prática, quando aplicável:
s\approx\frac{K_{sp}}{0,050}.
Se fornecer o valor numérico de K_{sp} (ou a identidade do sólido Phses para eu consultar K_{sp}), eu calculo s numericamente e verifico se a aproximação é válida.

Resposta

s=\frac{-0,050+\sqrt{(0,050)^{2}+4\,K_{sp}}}{2}
s\approx\frac{K_{sp}}{0,050}\ \text{(aproximação válida se }s\ll0,050\text{)}çãá

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