Uma velocidade de reação aumenta por um fator 1.000 na presença de um catalisador à 25 { }^{\circ} \mathrm{C}. A energia de ativação da trajetória inicial é 98 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}. Qual a energia de ativação da nova trajetória, sendo todos os outros fatores iguais?
Resposta: \mathrm{E}_{\mathrm{a}}=81 \mathrm{~kJ} . \mathrm{mol}^{-1}

Passo 1

O enunciado diz que a velocidade de reação aumenta por um fator 1{.}000 na presença de um catalisador à 25\\ ^\circ\mathrm{C}. A energia de ativação da trajetória inicial é \,E_{\mathrm{a,1}}=98\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}. Pergunta-se qual é a energia de ativação da nova trajetória \,E_{\mathrm{a,2}}, supondo que todos os outros fatores (especialmente o fator pré-exponencial) permaneçam iguais.
Dados relevantes:
  • Fator de aumento da velocidade: \dfrac{k_2}{k_1}=1{.}000.
  • Temperatura: 25\\ ^\circ\mathrm{C}=298,15\\ \mathrm{K}.
  • Energia de ativação inicial: E_{\mathrm{a,1}}=98\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Pressuposto importante (dado no enunciado): todos os outros fatores iguais → especialmente A_1=A_2 (mesmo pré-exponencial).

Passo 2

A ferramenta que usamos é a equação de Arrhenius. Vou explicar passo a passo o que ela diz e o que cada símbolo significa.
A equação de Arrhenius é
k = A \, e^{-E_{\mathrm{a}}/(R T)},
onde:
  • k é a constante de velocidade (proporcional à velocidade da reação),
  • A é o fator pré-exponencial (frequência efetiva de colisões favoráveis),
  • E_{\mathrm{a}} é a energia de ativação (em \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1} ou \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}),
  • R é a constante dos gases ideais ( R=8{,}314\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Se o pré-exponencial A for o mesmo para as duas trajetórias, podemos dividir as duas equações de Arrhenius para obter a razão das constantes de velocidade em função das energias de ativação.

Passo 3

Formando a razão entre k_2 e k_1 e usando A_1=A_2:
\frac{k_2}{k_1}=\frac{A\,e^{-E_{\mathrm{a,2}}/(R T)}}{A\,e^{-E_{\mathrm{a,1}}/(R T)}}=e^{-(E_{\mathrm{a,2}}-E_{\mathrm{a,1}})/(R T)}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)=-\frac{E_{\mathrm{a,2}}-E_{\mathrm{a,1}}}{R T}.
Despejando E_{\mathrm{a,2}}:
E_{\mathrm{a,2}}=E_{\mathrm{a,1}}-R T\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right).
Essa é a fórmula prática que vamos usar. Note: o sinal menos aparece porque um aumento de k corresponde, mantendo A e T fixos, a uma diminuição de E_{\mathrm{a}}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro, a constante dos gases e a temperatura:
R=8{,}314\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1},\qquad T=298{,}15\\ \mathrm{K}.
O fator \dfrac{k_2}{k_1}=1{.}000, e \ln(1{.}000)=\ln(10^3)=3\ln 10\approx 6{,}907755279. Calculamos o termo R T\ln(1{.}000):
Calcule R T:
R T = 8{,}314\times 298{,}15 = 2{.}478{,}8191\times 10^{3}\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Agora multiplica pelo \ln:
R T\ln(1{.}000)=2{.}478{,}8191\times 10^{3}\times 6{,}907755279 \approx 1{.}7123\times 10^{4}\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Convertendo para \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1} (dividindo por 10^{3}):
R T\ln(1{.}000)\approx 17{,}123\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula para obter E_{\mathrm{a,2}}:
E_{\mathrm{a,2}}=E_{\mathrm{a,1}}-R T\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)=98\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}-17{,}123\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Fazendo a subtração:
E_{\mathrm{a,2}}\approx 80{,}877\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Arredondando de forma prática (duas cifras significativas em \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}) obtemos E_{\mathrm{a,2}}\approx 81\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 6

Interpretação rápida para a prova: aumentar a taxa em um fator grande (aqui 10^3) a T fixa exige reduzir E_{\mathrm{a}} por um valor R T\ln(\text{fator}). O pré-exponencial igual simplifica muito — se A mudasse, não seria possível usar apenas essa relação. Vai por mim: na prova explique que assumiu A constante (isso foi dado por “todos os outros fatores iguais”) e mostre a manipulação com a equação de Arrhenius como fizemos.

Resposta

E_{\mathrm{a}}=81\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}

Exercícios relacionados