Calcule o núcleo KerT e a imagem ImT da transformação abaixo:
T: ℝ3 → ℝ3, onde T(x, y, z)=(x, y cos 45°-z sen 45°, y sen 45°+z cos 45°);
Baseado nos cálculos do núcleo e imagem, classifique a transformação em: injetora, sobrejetora ou ambas as coisas (bijetora).
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
Queremos calcular o núcleo \ker T (os vetores que vão para zero) e a imagem \operatorname{Im}T (o subespaço gerado pelos vetores T(x,y,z)), para então classificar T como injetora, sobrejetora ou bijetora.
Passo 2
Para achar \ker T\) resolvemos
\[T(x,y,z)=(0,0,0).
Sabendo que \cos45^\circ=\sin45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\], as duas últimas equações formam o sistema homogêneo
\[\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}\\[6pt] \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.\]
Como a matriz de rotação \(2\times2 é invertível, a única solução é y=0 e z=0.]
Passo 3
Concluímos que
\ker T = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=0,\;y=0,\;z=0\} = \{(0,0,0)\}.
Passo 4
Para a imagem note que a matriz de T em relação à base canônica é