Calcule o núcleo KerT e a imagem ImT da transformação abaixo:
T: ℝ3 → ℝ3, onde T(x, y, z)=(x, y cos 45°-z sen 45°, y sen 45°+z cos 45°);
Baseado nos cálculos do núcleo e imagem, classifique a transformação em: injetora, sobrejetora ou ambas as coisas (bijetora).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z)=\bigl(x,\;y\cos45^\circ - z\sin45^\circ,\;y\sin45^\circ + z\cos45^\circ\bigr).
Queremos calcular o núcleo \ker T (os vetores que vão para zero) e a imagem \operatorname{Im}T (o subespaço gerado pelos vetores T(x,y,z)), para então classificar T como injetora, sobrejetora ou bijetora.

Passo 2

Para achar \ker T\) resolvemos \[T(x,y,z)=(0,0,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} x=0,\\\ y\cos45^\circ - z\sin45^\circ=0,\\\ y\sin45^\circ + z\cos45^\circ=0. \end{cases}
Sabendo que \cos45^\circ=\sin45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\], as duas últimas equações formam o sistema homogêneo \[\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}\\[6pt] \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.\] Como a matriz de rotação \(2\times2 é invertível, a única solução é y=0 e z=0.]

Passo 3

Concluímos que
\ker T = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=0,\;y=0,\;z=0\} = \{(0,0,0)\}.

Passo 4

Para a imagem note que a matriz de T em relação à base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix},
cuja determinante é \det A = 1\cdot1 = 1\neq0. Logo \operatorname{rank}A=3 e
\operatorname{Im}T = \mathbb{R}^3.

Passo 5

Como \ker T=\{0\}, T é injetora, e como \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3, T é sobrejetora. Portanto T é bijetora.

Resposta

\ker T = \{(0,0,0)\} \operatorname{Im}T = \mathbb{R}^3 T é bijetora.

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