Calcule o núcleo KerT e a imagem ImT da transformação abaixo:
T: ℝ4 → ℝ3, onde T(x, y, z, t)=(x+t+z, y-t+z, t-x-z-y);
Baseado nos cálculos do núcleo e imagem, classifique a transformação em: injetora, sobrejetora ou ambas as coisas (bijetora).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3, \quad T(x,y,z,t) = (\,x + z + t,\;y + z - t,\;-x - y - z + t\,).
Precisamos encontrar seu núcleo \ker T (solução de T(v)=0) e sua imagem \Im T, e com isso decidir se T é injetora, sobrejetora ou bijetora.

Passo 2

Representamos T pela matriz A relativa às bases canônicas de \mathbb{R}^4 e \mathbb{R}^3:
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \\\\ -1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Para achar \ker T, resolvemos o sistema homogêneo
\begin{cases} x + z + t = 0,\\\ y + z - t = 0,\\\\ -\,x - y - z + t = 0. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações isolamos
x = -\,z - t, \quad y = -\,z + t.
Substituindo na terceira:
-(-z - t)\;-\;(-z + t)\;-\;z \;+\;t = 0 \;\Longrightarrow\; z + t + z - t - z + t = 0 \;\Longrightarrow\; z + t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\,z.
Logo
x = -\,z -(-z) = 0, \quad y = -\,z +(-z) = -2z.
Portanto todo vetor do núcleo é da forma
(x,y,z,t) = \bigl(0,\,-2z,\,z,\,-z\bigr) = z\,(0,\,-2,\,1,\,-1),
com z\in\mathbb{R}.

Passo 4

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (dimensão do domínio = posto + nulidade), temos
\dim\ker T = 1 \;\Longrightarrow\; \dim\Im T = 4 - 1 = 3.
Como \dim\Im T = 3 = \dim\mathbb{R}^3, concluímos que
\Im T = \mathbb{R}^3.

Passo 5

  • \ker T não é trivial ( \dim\ker T = 1>0), logo T não é injetora.
  • \Im T = \mathbb{R}^3, ou seja, T é sobrejetora.
    Não sendo injetora, não pode ser bijetora.

Resposta

\ker T = \operatorname{Span}\{(0,-2,1,-1)\}.
\Im T = \mathbb{R}^3.
A transformação T é sobrejetora, mas não é injetora.

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