Calcule o núcleo KerT e a imagem ImT da transformação abaixo:
T: ℝ4 → ℝ3, onde T(x, y, z, t)=(x+t+z, y-t+z, t-x-z-y);
Baseado nos cálculos do núcleo e imagem, classifique a transformação em: injetora, sobrejetora ou ambas as coisas (bijetora).
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3, \quad T(x,y,z,t) = (\,x + z + t,\;y + z - t,\;-x - y - z + t\,).
Precisamos encontrar seu núcleo \ker T (solução de T(v)=0) e sua imagem \Im T, e com isso decidir se T é injetora, sobrejetora ou bijetora.
Passo 2
Representamos T pela matriz A relativa às bases canônicas de \mathbb{R}^4 e \mathbb{R}^3: