Calcule o núcleo KerT e a imagem ImT da transformação abaixo:
T: ℝ3 → ℝ2, onde T(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 6 z-4 y+x);
Baseado nos cálculos do núcleo e imagem, classifique a transformação em: injetora, sobrejetora ou ambas as coisas (bijetora).
O conteúdo envolve encontrar o núcleo \ker T (soluções de T(x,y,z)=0) e a imagem \mathrm{Im}\,T (span das colunas da matriz de T), e depois usar dimensões para ver se T é injetora ou sobrejetora.
Passo 2
Escrevemos T como matriz A em relação às bases canônicas:
Substituindo em (x + 2y -3z=0]: x + 2\Bigl(\tfrac32 z\Bigr)-3z = x +3z -3z = x = 0.
Logo \ker T = \{(0,\tfrac32 z,\,z)\mid z\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(0,\tfrac32,1)\}.
Passo 4
Para a imagem, observamos que \mathrm{Im}\,T é gerada pelas colunas de A:
Note que c_3 = -3\,(1,-2) = -3\,\bigl(\tfrac12c_2\bigr), ou seja c_3 é combinação de c_2. Já c_1 e c_2 são linearmente independentes em \mathbb{R}^2. Portanto