Calcule o núcleo KerT e a imagem ImT da transformação abaixo:
T: ℝ3 → ℝ2, onde T(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 6 z-4 y+x);
Baseado nos cálculos do núcleo e imagem, classifique a transformação em: injetora, sobrejetora ou ambas as coisas (bijetora).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z) = (\,x + 2y - 3z,\;x - 4y + 6z\,).
O conteúdo envolve encontrar o núcleo \ker T (soluções de T(x,y,z)=0) e a imagem \mathrm{Im}\,T (span das colunas da matriz de T), e depois usar dimensões para ver se T é injetora ou sobrejetora.

Passo 2

Escrevemos T como matriz A em relação às bases canônicas:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\\\ 1 & -4 & 6 \end{pmatrix},
de modo que T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.

Passo 3

Para achar \ker T\), resolvemos \[A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
ou seja o sistema
\begin{cases} x + 2y - 3z = 0,\\\ x - 4y + 6z = 0. \end{cases}
Subtraindo a segunda menos a primeira:
(x - 4y + 6z) - (x + 2y - 3z) = 0 \;\Longrightarrow\;-6y +9z=0 \;\Longrightarrow\;y = \tfrac32\,z.
Substituindo em (x + 2y -3z=0]:
x + 2\Bigl(\tfrac32 z\Bigr)-3z = x +3z -3z = x = 0.
Logo
\ker T = \{(0,\tfrac32 z,\,z)\mid z\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(0,\tfrac32,1)\}.

Passo 4

Para a imagem, observamos que \mathrm{Im}\,T é gerada pelas colunas de A:
c_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},\quad c_2 = \begin{pmatrix}2\\\ -4\end{pmatrix},\quad c_3 = \begin{pmatrix}-3\\\ 6\end{pmatrix}.
Note que c_3 = -3\,(1,-2) = -3\,\bigl(\tfrac12c_2\bigr), ou seja c_3 é combinação de c_2. Já c_1 e c_2 são linearmente independentes em \mathbb{R}^2. Portanto
\mathrm{Im}\,T = \mathrm{span}\{\,c_1,\;c_2\} = \mathrm{span}\Bigl\{\,(1,1),\,(2,-4)\Bigr\}.
Como são dois vetores independentes em \mathbb{R}^2, \dim(\mathrm{Im}\,T)=2.

Passo 5

Pelas dimensões temos
\dim(\ker T)=1>0\quad\Longrightarrow\;T\text{ não é injetora},ãé
e
\dim(\mathrm{Im}\,T)=2=\dim(\mathbb{R}^2)\quad\Longrightarrow\;T\text{ é sobrejetora}.é

Resposta

\displaystyle \ker T = \mathrm{span}\{(0,\tfrac32,1)\},\quad \mathrm{Im}\,T = \mathrm{span}\{(1,1),(2,-4)\}.
T é sobrejetora, mas não injetora.

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