Calcule o núcleo KerT e a imagem ImT da transformação abaixo:
T: ℝ2 → ℝ, onde T(x, y)=x+y;
Baseado nos cálculos do núcleo e imagem, classifique a transformação em: injetora, sobrejetora ou ambas as coisas (bijetora).
T: ℝ2 → ℝ, onde T(x, y)=x+y;
Baseado nos cálculos do núcleo e imagem, classifique a transformação em: injetora, sobrejetora ou ambas as coisas (bijetora).
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
por
Queremos encontrar o núcleo
e a imagem
, e depois usar essas informações para testar se
é injetora, sobrejetora ou bijetora.
Passo 2
Por definição
No nosso caso basta resolver
ou seja,
. Portanto
que é uma reta passando pela origem em
.
Passo 3
Por definição
Dado qualquer
, basta escolher
para obter
Logo todos os reais aparecem como imagem, isto é
Passo 4
Para uma transformação linear vale:
- é injetora se e somente se
; - é sobrejetora se e somente se
coincide com o contradomínio.
Aqui
não é apenas
, logo
não é injetora. Como
, que é justamente o contradomínio,
é sobrejetora. Não sendo injetora,
não é bijetora.
Resposta
e