Calcule o núcleo KerT e a imagem ImT da transformação abaixo:
T: ℝ2 → ℝ, onde T(x, y)=x+y;
Baseado nos cálculos do núcleo e imagem, classifique a transformação em: injetora, sobrejetora ou ambas as coisas (bijetora).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
\displaystyle T\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R
por
T(x,y)=x+y.
Queremos encontrar o núcleo \ker T e a imagem \mathrm{Im}\,T, e depois usar essas informações para testar se T é injetora, sobrejetora ou bijetora.

Passo 2

Por definição
\ker T=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid T(x,y)=0\}.
No nosso caso basta resolver
x+y=0,
ou seja, y=-x. Portanto
\ker T=\{(x,-x)\mid x\in\mathbb R\},
que é uma reta passando pela origem em \mathbb R^2.

Passo 3

Por definição
\mathrm{Im}\,T=\{T(x,y)\mid(x,y)\in\mathbb R^2\}.
Dado qualquer \alpha\in\mathbb R, basta escolher (x,y)=(\alpha,0) para obter
T(\alpha,0)=\alpha.
Logo todos os reais aparecem como imagem, isto é
\mathrm{Im}\,T=\mathbb R.

Passo 4

Para uma transformação linear vale:
  • é injetora se e somente se \ker T=\{(0,0)\};
  • é sobrejetora se e somente se \mathrm{Im}\,T coincide com o contradomínio.
Aqui \ker T não é apenas \{(0,0)\}, logo T não é injetora. Como \mathrm{Im}\,T=\mathbb R, que é justamente o contradomínio, T é sobrejetora. Não sendo injetora, T não é bijetora.

Resposta

\ker T=\{(x,-x)\mid x\in\mathbb R\},
\mathrm{Im}\,T=\mathbb R,
e T é sobrejetora mas não injetora.

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