Q4: Seja
uma matriz quadrada
. Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de colunas de
não gera o
.
II - O sistema homogêneo
possui infinit as soluções.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - O conjunto de colunas de
II - O sistema homogêneo
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada de ordem
com
. O conteúdo aqui envolve as consequências de uma matriz singular (
): falta de invertibilidade, posto (rank) menor que
, geração pelas colunas e o espaço de soluções do sistema homogêneo. Vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagem) e a relação entre determinante e invertibilidade.
Passo 2
Como
, a matriz
não é invertível. Isso implica que o posto de
satisfaz
Mas gerar
com as colunas de
exigiria
. Logo, as colunas de
não geram
. Isso mostra que a afirmativa I é verdadeira.
Passo 3
Pelo Teorema Núcleo-Imagem temos
Como
, segue que
Isto significa que o espaço de soluções do sistema homogêneo
tem dimensão pelo menos
, ou seja, existem infinitas soluções. Afirmativa II também é verdadeira.
Passo 4
Concluímos que ambas as afirmativas I e II são verdadeiras.
Resposta
(D) Todas são verdadeiras.