Q4: Seja A uma matriz quadrada n \times n \operatorname{com} \operatorname{det} A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de colunas de A não gera o \mathbb{R}^{n}.
II - O sistema homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} possui infinit as soluções.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem n com \det A = 0. O conteúdo aqui envolve as consequências de uma matriz singular ( \det A=0): falta de invertibilidade, posto (rank) menor que n, geração pelas colunas e o espaço de soluções do sistema homogêneo. Vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagem) e a relação entre determinante e invertibilidade.

Passo 2

Como \det A=0, a matriz A não é invertível. Isso implica que o posto de A satisfaz
\mathrm{rank}(A)\le n-1.
Mas gerar \mathbb{R}^n com as colunas de A exigiria \mathrm{rank}(A)=n. Logo, as colunas de A não geram \mathbb{R}^n. Isso mostra que a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

Pelo Teorema Núcleo-Imagem temos
\dim(\mathrm{Col}(A)) + \dim(\ker(A)) = n.
Como \dim(\mathrm{Col}(A)) = \mathrm{rank}(A)\le n-1, segue que
\dim(\ker(A)) = n - \mathrm{rank}(A) \ge 1.
Isto significa que o espaço de soluções do sistema homogêneo A\vec{x}=\vec{0} tem dimensão pelo menos 1, ou seja, existem infinitas soluções. Afirmativa II também é verdadeira.

Passo 4

Concluímos que ambas as afirmativas I e II são verdadeiras.

Resposta

(D) Todas são verdadeiras.

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