Calcule o número de Mach para um avião voando a 1.126 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em altitudes de 1.524 m e 15.240 m .
Resposta: Usando as propriedades atmosféricas padrão dos Estados Unidos das Américas temos \rho_{1.000}=1,11 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \rho_{10.000}=0,41 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e usando um módulo de elasticidade de \mathrm{K}_{\mathrm{ar}}=1,5.10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} (simplificação) segue \mathrm{c}_{1.000}=367 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \mathrm{c}_{10.000}=604 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \mathrm{Ma}_{1.000}=0,85 e \mathrm{Ma}_{10.000}=0,52.

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: calcular o número de Mach para um avião voando a 1{,}126\\ \mathrm{km/h} em duas altitudes: 1{,}524\\ \mathrm{m} e 15{,}240\\ \mathrm{m}.
  • Dados do enunciado (já em unidades usuais):
    • Velocidade do avião: V = 1{,}126\\ \mathrm{km/h}.
    • Altitudes: h_1 = 1{,}524\\ \mathrm{m} e h_2 = 15{,}240\\ \mathrm{m}.
  • Notas úteis (vamos usá‑las ao resolver): para o ar usaremos \gamma=1{,}4 (razão de calores específicos) e a constante dos gases para o ar R=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\,K)}. A definição que vamos aplicar é que o número de Mach é a razão entre a velocidade do avião e a velocidade do som local:
\mathrm{Ma}=\frac{V}{c},
onde c é a velocidade do som no ar no local considerado.

Passo 2

Converter a velocidade do avião para metros por segundo (para ficar consistente com as unidades das fórmulas).
  • Conversão: 1\\ \mathrm{km/h}= \dfrac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=\dfrac{1}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s}.
  • Então:
V = \frac{1{,}126}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s} = 312{,}777\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Vou usar V=312{,}78\\ \mathrm{m/s} (arredondando na 2ª casa decimal para manter clareza nos cálculos).

Passo 3

Explicar o que é a velocidade do som no ar e a fórmula que vamos usar.
  • Física básica: a velocidade do som num gás perfeito e ideal pode ser escrita como
c=\sqrt{\gamma R T},
onde:
  • \gamma é a razão entre capacidades térmicas a pressão e a volume constantes (para o ar \gamma=1{,}4),
  • R é a constante específica do gás (para o ar R=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\,K)}),
  • T é a temperatura absoluta do ar em kelvin ( \mathrm{K}).
  • Portanto, para achar c precisamos da temperatura T do ar nas altitudes dadas. Vou usar o modelo padrão da atmosfera (ISA) para calcular T em cada altitude.

Passo 4

Calcular a temperatura padrão em h_1=1{,}524\\ \mathrm{m} usando a troposfera com gradiente linear.
  • Parâmetros ISA (camada troposférica até 11{,}000\\ \mathrm{m}):
    • Temperatura ao nível do mar: T_0 = 288{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Gradiente adiabático padrão: L = 0{,}0065\\ \mathrm{K/m} (a temperatura decresce com a altitude).
  • Fórmula (para h até 11{,}000\\ \mathrm{m}):
T(h)=T_0 - L\,h.
  • Aplicando em h_1=1{,}524\\ \mathrm{m}:
T_1 = 288{,}15 - 0{,}0065\cdot 1{,}524 = 278{,}244\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a velocidade do som c_1 na altitude h_1 e o número de Mach correspondente.
  • Primeiro, calculemos a constante multiplicativa:
\gamma R = 1{,}4 \times 287{,}05 = 401{,}87\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
  • Agora a velocidade do som:
c_1 = \sqrt{401{,}87\cdot 278{,}244} \approx 334{,}44\\ \mathrm{m/s}.
(Detalhe: calculei \;401{,}87\times278{,}244\approx111{,}817{,}06 e depois a raiz quadrada.)
  • Finalmente, o número de Mach:
\mathrm{Ma}_1=\frac{V}{c_1}=\frac{312{,}78}{334{,}44}\approx0{,}936.
Interpretação rápida: \mathrm{Ma}_1 é menor que 1, portanto sub‑sônico relativo à velocidade do som naquele nível.

Passo 6

Calcular a temperatura padrão em h_2=15{,}240\\ \mathrm{m}. Atenção à estrutura da atmosfera: acima de 11{,}000\\ \mathrm{m} o perfil ISA muda.
  • Na ISA, para 11{,}000\\ \mathrm{m} < h < 20{,}000\\ \mathrm{m} a temperatura é aproximadamente constante e igual à temperatura no topo da troposfera:
T_{\text{tropopause}} = T_0 - L\cdot 11{,}000 = 288{,}15 - 0{,}0065\cdot 11{,}000 = 216{,}65\\ \mathrm{K}.
  • Como h_2=15{,}240\\ \mathrm{m} está nessa faixa, usamos:
T_2 = 216{,}65\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Calcular a velocidade do som c_2 na altitude h_2 e o número de Mach correspondente.
  • Velocidade do som:
c_2 = \sqrt{401{,}87\cdot 216{,}65} \approx 295{,}09\\ \mathrm{m/s}.
(Detalhe: 401{,}87\times216{,}65\approx87{,}065{,}14, raiz dá \approx295{,}09.)
  • Número de Mach:
\mathrm{Ma}_2=\frac{V}{c_2}=\frac{312{,}78}{295{,}09}\approx1{,}060.
Interpretação rápida: \mathrm{Ma}_2 é maior que 1, portanto supersônico em relação à velocidade do som a essa altitude (isso indica que, mantida essa velocidade absoluta, o avião estaria voando acima de Mach 1 naquela camada mais fria da atmosfera).

Passo 8

Breve recapitulação didática e observações práticas (como fazer rápido na prova).
  • Resumo do procedimento que deve ser memorizado para a prova:
    1. Converter V para \mathrm{m/s}.
    2. Obter T na altitude (usar ISA: gradiente até 11{,}000\\ \mathrm{m}, depois isoterma até 20{,}000\\ \mathrm{m}).
    3. Calcular c=\sqrt{\gamma R T} com \gamma=1{,}4 e R=287{,}05.
    4. Calcular \mathrm{Ma}=V/c.
  • Dica prática: em provas rápidas, lembrar que c diminui com a temperatura. Em altitudes mais altas (onde está mais frio, até a tropopausa) c tende a diminuir, elevando o número de Mach para uma mesma velocidade V.

Resposta

\mathrm{Ma}_{1{,}524\\ \mathrm{m}} = 0{,}936
\mathrm{Ma}_{15{,}240\\ \mathrm{m}} = 1{,}060

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