Questão 1 (2 pontos): Um manômetro em “U” contém mercúrio ( \mathrm{d}_{\mathrm{Hg}}=13,6 ) e está conectado a um reservatório contendo um gás. O outro ramo do manômetro está aberto para a atmosfera. A diferença entre os níveis de mercúrio é h=0,42 \mathrm{~m}, sendo o nível no lado conectado ao gás mais baixo do que no lado aberto. Qual é a pressão absoluta no reservatório contendo o gás?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede a pressão absoluta no reservatório que contém o gás (ou seja, a pressão do gás relativa ao vácuo).
  • Dados fornecidos:
    • diferença de níveis do mercúrio no manômetro: h=0,42\\ \mathrm{m};
    • densidade específica do mercúrio (gravidade específica) dada: d_{\mathrm{Hg}}=13,6 (isto é, mercúrio tem densidade 13,6 vezes a da água);
    • o ramo conectado ao gás está mais baixo que o ramo aberto: isso indica que a pressão do gás é maior que a pressão atmosférica.
  • Constantes que vamos usar (valores padrão):
    • densidade da água: \rho_{\mathrm{água}}=1000\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}á;
    • aceleração da gravidade: g=9,81\\ \mathrm{m\cdot s^{-2}};
    • pressão atmosférica padrão: p_{\mathrm{atm}}=101325\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

Princípio físico do manômetro em U (explicação didática e derivação):
  • Em um fluido em equilíbrio, a pressão depende apenas da profundidade: se descer uma coluna de fluido de altura \Delta z, a pressão aumenta em \rho g \Delta z, onde \rho é a densidade do fluido e g a gravidade.
  • No manômetro em U com o mesmo fluido (mercúrio) nos dois ramos, em um mesmo nível horizontal dentro do mercúrio a pressão é a mesma nos dois lados.
  • Se chamarmos p_{\text{gás}}á a pressão do gás no reservatório e p_{\mathrm{atm}} a pressão atmosférica no lado aberto, e se a coluna do lado do gás está mais baixa em h, então ao ir do topo do mercúrio no lado do gás até o mesmo nível no outro ramo há uma diferença de altura h. Aplicando a relação hidrostática obtemos a diferença de pressão entre os dois lados:
p_{\text{gás}}-p_{\mathrm{atm}}=\rho_{\mathrm{Hg}}\,g\,h.á
  • Portanto a pressão absoluta do gás é:
p_{\text{gás}}=p_{\mathrm{atm}}+\rho_{\mathrm{Hg}}\,g\,h.á
Aqui \rho_{\mathrm{Hg}} é a densidade do mercúrio (em \mathrm{kg\cdot m^{-3}}), g é 9,81\\ \mathrm{m\cdot s^{-2}} e h é 0,42\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a densidade do mercúrio a partir da gravidade específica dada:
  • Como foi dada a gravidade específica d_{\mathrm{Hg}}=13,6, temos
\rho_{\mathrm{Hg}}=d_{\mathrm{Hg}}\cdot\rho_{\mathrm{água}}=13,6\cdot1000\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.á
  • Portanto
\rho_{\mathrm{Hg}}=13600\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.

Passo 4

Calcular a contribuição hidrostática \rho_{\mathrm{Hg}} g h passo a passo (para poder fazer sem calculadora, explico a multiplicação):
  • Primeiro calcule g\cdot h:
g\cdot h=9,81\cdot0,42.
Uma forma manual: 9,81\cdot0,42=\dfrac{9,81\cdot42}{100}.
Calcule 9,81\cdot42 como 9,81\cdot(40+2)=9,81\cdot40+9,81\cdot2=392,4+19,62=412,02.
Dividindo por 100 obtemos
g\cdot h=4,1202\\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}.
  • Agora multiplique por \rho_{\mathrm{Hg}}=13600:
\rho_{\mathrm{Hg}}\,g\,h=13600\cdot4,1202.
Calcule 4,1202\cdot13600=(4,1202\cdot136)\cdot100.
Calcule 4,1202\cdot136=4,1202\cdot(100+30+6)=412,02+123,606+24,7212=560,3472.
Multiplicando por 100:
\rho_{\mathrm{Hg}}\,g\,h=56034,72\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Somar a pressão atmosférica para obter a pressão absoluta do gás:
  • Usando a fórmula do Passo 2:
p_{\text{gás}}=p_{\mathrm{atm}}+\rho_{\mathrm{Hg}}\,g\,h.á
  • Substituindo os valores:
p_{\text{gás}}=101325+56034,72=157359,72\\ \mathrm{Pa}.á
  • Arredondando de acordo com os algarismos significativos dos dados (h com dois algarismos significativos), podemos apresentar com três algarismos significativos:
p_{\text{gás}}\approx1,57\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\quad(\approx157\\ \mathrm{kPa}).á

Resposta

p_{\text{gás}}\approx1,57\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}á

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