Um cilindro contém 0,375 \mathrm{~m}^{3} de ar a 49^{\circ} \mathrm{C} e a pressão absoluta igual a 300 \mathrm{kPa} . \mathrm{O} ar é comprimido até o volume de 0,075 \mathrm{~m}^{3}, em condições isotérmicas. Calcule a pressão do novo volume de ar e o módulo de elasticidade volumétrico.
Resposta: Calcular massa específica inicial do ar: 3,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e assim a massa inicial do ar: 1,2 \mathrm{~kg} e a nova pressão usando p_{1} V_{1}=p_{2} V_{2} (lei de Boyle-Mariotte para compressão ou expansão isotérmica) segue p_{2}= 1,500 \mathrm{kPa} e \operatorname{assim} K=1,5 \cdot 10^{6} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar exatamente os números que temos):
  • Volume inicial: V_{1}=0{,}375\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Temperatura: 49^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pressão absoluta inicial: p_{1}=300\\ \mathrm{kPa}.
  • Volume final: V_{2}=0{,}075\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Processo: compressão isotérmica (temperatura constante).
O que o problema pede:
  • Calcular a pressão no novo volume de ar, isto é p_{2}.
  • Calcular o módulo de elasticidade volumétrico K no estado comprimido.
Observações úteis a ter em mente (a usar nos passos seguintes): converter temperaturas para kelvin e pressões para pascal quando for conveniente; trabalhar com pressão absoluta; para gás ideal usar constante específica do ar R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 2

Convertemos unidades e preparamos os valores:
  • Converter a temperatura para kelvin:
T = 49^\circ\mathrm{C} = 49 + 273{,}15 = 322{,}15\\ \mathrm{K}.
(Para cálculos manuais podemos aproximar T\approx322\\ \mathrm{K} se for necessário; aqui usarei 322{,}15\\ \mathrm{K} quando precisar de maior precisão.)
  • Converter a pressão para pascal:
p_{1}=300\\ \mathrm{kPa}=300{,}000\\ \mathrm{Pa}.
Os volumes já estão em \mathrm{m}^{3}, então estão prontos para uso.

Passo 3

Cálculo da massa específica inicial do ar (isso é um passo pedagógico: não era estritamente pedido, mas é útil e o enunciado-proposta mencionou esse cálculo).
Usamos a equação dos gases ideais na forma
p = \rho R T,
onde:
  • p é a pressão absoluta ( \mathrm{Pa}),
  • \rho é a massa específica ( \mathrm{kg/m^{3}}),
  • R é a constante específica do ar ( R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
  • T é a temperatura absoluta ( \mathrm{K}).
Isolando \rho:
\rho = \dfrac{p}{R T}.
Substituindo valores:
\rho = \dfrac{300{,}000}{287\cdot 322{,}15}.
Calculemos o denominador passo a passo: 287\cdot 322{,}15 \approx 92{,}414. Portanto
\rho \approx \dfrac{300{,}000}{92{,}414}\approx 3{,}245\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Arredondando conforme conveniência de prova, pode-se escrever \rho\approx 3{,}25\\ \mathrm{kg/m^{3}} ou, com baixa precisão, \rho\approx 3{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Agora a massa total do ar no cilindro é
m = \rho V_{1} \approx 3{,}245\cdot 0{,}375 \approx 1{,}217\\ \mathrm{kg},
que pode ser arredondado para 1{,}22\\ \mathrm{kg} ou, com menor precisão, 1{,}2\\ \mathrm{kg}.
Comentário rápido e prático: a massa não muda com a compressão (supondo que não haja fuga de ar), por isso este cálculo serve só para referência ou para outros problemas que peçam massa.

Passo 4

Calcular a nova pressão p_{2} usando que o processo é isotérmico. Para um gás ideal em processo isotérmico vale a relação de Boyle-Mariotte:
p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}.
Isolando p_{2}:
p_{2}=\dfrac{p_{1}V_{1}}{V_{2}}.
Substituindo os valores numéricos:
\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{0{,}375}{0{,}075}=5.
Logo
p_{2}=5\cdot p_{1}=5\cdot 300\\ \mathrm{kPa}=1500\\ \mathrm{kPa}.
Em pascal:
p_{2}=1{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular o módulo de elasticidade volumétrico K (também chamado de módulo de compressibilidade inverso, ou bulk modulus). Definição (conceito a decorar para provas):
K = -V\,\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V},
onde p(V) é a relação pressão-volume no processo considerado e o sinal menos garante que K seja positivo quando a pressão aumenta quando o volume diminui.
Para um processo isotérmico do gás ideal temos pV= const, então p=\dfrac{\text{const}}{V}. Diferenciando:
\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = -\dfrac{p}{V}.
Substituindo em K:
K = -V\left(-\dfrac{p}{V}\right)=p.
Portanto, para compressão isotérmica de gás ideal, o módulo de elasticidade volumétrico no ponto considerado é igual à pressão absoluta naquele ponto.
Assim, no estado final (volume V_{2}) temos
K = p_{2}=1{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}=1{,}5\cdot 10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Observação: se o processo fosse adiabático, o resultado seria K=\gamma p (com \gamma a razão de capacidades térmicas), mas aqui o enunciado disse isotérmico, então K=p.

Passo 6

Resumo numérico com as grandezas calculadas (valores arredondados convenientemente para prova):
  • Massa específica inicial: \rho\approx 3{,}245\\ \mathrm{kg/m^{3}} (pode arredondar para 3{,}25 ou 3{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}} conforme o nível de precisão exigido).
  • Massa do ar: m\approx 1{,}217\\ \mathrm{kg} (aproximadamente 1{,}22\\ \mathrm{kg} ou 1{,}2\\ \mathrm{kg}).
  • Pressão final: p_{2}=1500\\ \mathrm{kPa}=1{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Módulo de elasticidade volumétrico no estado comprimido: K=1{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Força de incentivo: lembre-se sempre de usar temperaturas em kelvin e pressões absolutas, e de escrever unidades corretamente nas respostas — isso costuma somar pontos na correção.

Resposta

p_{2}=1500\\ \mathrm{kPa}=1{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}
K=1{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}

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