Um cilindro contém
de ar a
e a pressão absoluta igual a
ar é comprimido até o volume de
, em condições isotérmicas. Calcule a pressão do novo volume de ar e o módulo de elasticidade volumétrico.
Resposta: Calcular massa específica inicial do ar:
e assim a massa inicial do ar:
e a nova pressão usando
(lei de Boyle-Mariotte para compressão ou expansão isotérmica) segue
e
Resposta: Calcular massa específica inicial do ar:
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar exatamente os números que temos):
- Volume inicial:
. - Temperatura:
. - Pressão absoluta inicial:
. - Volume final:
. - Processo: compressão isotérmica (temperatura constante).
O que o problema pede:
- Calcular a pressão no novo volume de ar, isto é
. - Calcular o módulo de elasticidade volumétrico
no estado comprimido.
Observações úteis a ter em mente (a usar nos passos seguintes): converter temperaturas para kelvin e pressões para pascal quando for conveniente; trabalhar com pressão absoluta; para gás ideal usar constante específica do ar
.
Passo 2
Convertemos unidades e preparamos os valores:
- Converter a temperatura para kelvin:
(Para cálculos manuais podemos aproximar
se for necessário; aqui usarei
quando precisar de maior precisão.)
- Converter a pressão para pascal:
Os volumes já estão em
, então estão prontos para uso.
Passo 3
Cálculo da massa específica inicial do ar (isso é um passo pedagógico: não era estritamente pedido, mas é útil e o enunciado-proposta mencionou esse cálculo).
Usamos a equação dos gases ideais na forma
Usamos a equação dos gases ideais na forma
onde:
-
é a pressão absoluta ( ), -
é a massa específica ( ), -
é a constante específica do ar ( ), -
é a temperatura absoluta ( ).
Isolando
:
Substituindo valores:
Calculemos o denominador passo a passo:
. Portanto
Arredondando conforme conveniência de prova, pode-se escrever
ou, com baixa precisão,
.
Agora a massa total do ar no cilindro é
que pode ser arredondado para
ou, com menor precisão,
.
Comentário rápido e prático: a massa não muda com a compressão (supondo que não haja fuga de ar), por isso este cálculo serve só para referência ou para outros problemas que peçam massa.
Passo 4
Calcular a nova pressão
usando que o processo é isotérmico. Para um gás ideal em processo isotérmico vale a relação de Boyle-Mariotte:
Isolando
:
Substituindo os valores numéricos:
Logo
Em pascal:
Passo 5
Calcular o módulo de elasticidade volumétrico
(também chamado de módulo de compressibilidade inverso, ou bulk modulus). Definição (conceito a decorar para provas):
onde
é a relação pressão-volume no processo considerado e o sinal menos garante que
seja positivo quando a pressão aumenta quando o volume diminui.
Para um processo isotérmico do gás ideal temos
const, então
. Diferenciando:
Substituindo em
:
Portanto, para compressão isotérmica de gás ideal, o módulo de elasticidade volumétrico no ponto considerado é igual à pressão absoluta naquele ponto.
Assim, no estado final (volume
) temos
Observação: se o processo fosse adiabático, o resultado seria
(com
a razão de capacidades térmicas), mas aqui o enunciado disse isotérmico, então
.
Passo 6
Resumo numérico com as grandezas calculadas (valores arredondados convenientemente para prova):
- Massa específica inicial:
(pode arredondar para ou conforme o nível de precisão exigido). - Massa do ar:
(aproximadamente ou ). - Pressão final:
. - Módulo de elasticidade volumétrico no estado comprimido:
.
Força de incentivo: lembre-se sempre de usar temperaturas em kelvin e pressões absolutas, e de escrever unidades corretamente nas respostas — isso costuma somar pontos na correção.