Calcule o número de maneiras diferentes pelas quais podemos repartir uma dúzia de balas iguais entre três crianças, Antônio, Beatriz e Carlos.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma dúzia (12) de balas todas IGUAIS e três crianças (Antônio, Beatriz e Carlos). O objetivo é descobrir de quantas jeitos diferentes dá pra repartir essas 12 balas entre eles. Esse problema é de contagem/combinatória, mais especificamente sobre como achar o número de soluções em inteiros não-negativos da equação
x1 + x2 + x3 = 12,
onde são as balas que cada criança vai receber. Para resolver, vamos precisar do conceito de combinação (binomial) e do famoso “método das barras e estrelas” (stars and bars).

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir pra linguagem matemática:
  • x1 + x2 + x3 = 12 = número de balas que o Antônio recebe,
  • = número de balas que a Beatriz recebe,
  • = número de balas que o Carlos recebe.
Como não há restrição de que alguém tenha que receber pelo menos uma bala, permitimos . A equação é

Passo 3

Agora, qual é a ideia de combinação e de “stars and bars”?
  1. Combinação binomnk = n!k!(n-k)! : é o número de jeitos de escolher x1 + x2 + cdots + xr = N, itens de um total de binomN + r - 1r - 1 , sem ordem. A fórmula é
  2. Stars and bars: pra contar soluções não-negativas de a gente imagina “estrelas” (sticks) e “barras” que separam os grupos. O total de símbolos é , e o número de formas de escolher onde vão as barras é

Passo 4

No nosso caso, binom142 (as balas) e (as crianças). Então precisamos de estrelas e barras. O total de objetos é . O número de maneiras de escolher as posições das duas barras entre essas 14 posições é

Passo 5

Basta calcular
binom142 = 14!2!,12! = 14 times 132 times 1 = 91

Resposta

91 maneiras diferentes.

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