Calcule o número de maneiras diferentes pelas quais podemos repartir uma dúzia de balas iguais entre três crianças, Antônio, Beatriz e Carlos.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma dúzia (12) de balas todas IGUAIS e três crianças (Antônio, Beatriz e Carlos). O objetivo é descobrir de quantas jeitos diferentes dá pra repartir essas 12 balas entre eles. Esse problema é de contagem/combinatória, mais especificamente sobre como achar o número de soluções em inteiros não-negativos da equação
onde
são as balas que cada criança vai receber. Para resolver, vamos precisar do conceito de combinação (binomial) e do famoso “método das barras e estrelas” (stars and bars).
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir pra linguagem matemática:
-
= número de balas que o Antônio recebe, -
= número de balas que a Beatriz recebe, -
= número de balas que o Carlos recebe.
Como não há restrição de que alguém tenha que receber pelo menos uma bala, permitimos
. A equação é
Passo 3
Agora, qual é a ideia de combinação e de “stars and bars”?
- Combinação
: é o número de jeitos de escolher itens de um total de , sem ordem. A fórmula é - Stars and bars: pra contar soluções não-negativas de
a gente imagina “estrelas” (sticks) e “barras” que separam os grupos. O total de símbolos é , e o número de formas de escolher onde vão as barras é
Passo 4
No nosso caso,
(as balas) e
(as crianças). Então precisamos de
estrelas e
barras. O total de objetos é
. O número de maneiras de escolher as posições das duas barras entre essas 14 posições é
Passo 5
Basta calcular
Resposta
91 maneiras diferentes.