Quantas soluções existem para a equação x1+x2+x3=20, sendo que cada xi, i=1,2,3, é um inteiro positivo?

Passo 1

Beleza, o enunciado é: “Quantas soluções existem para a equação
x1+x2+x3=20
sendo cada um inteiro positivo?”
Isso cai em “Combinatória – distribuição de unidades (estrelas) em caixas” ou “princípio das barras e estrelas”. Para resolver a gente vai precisar:
1. Entender que inteiro positivo significa .
2. Fazer uma troca de variáveis pra trabalhar com variáveis .
3. Usar a fórmula de combinações com repetição (ou “barras e estrelas”).

Passo 2

Como x1+x2+x3=20 Longrightarrow (y1+1)+(y2+1)+(y3+1)=20 , define a variável Longrightarrow y1+y2+y3=20-3=17, . Aí cada fica . Substituindo na soma:
onde agora cada é inteiro não-negativo.

Passo 3

Agora contamos soluções não-negativas de
y1+y2+y3=17, yi>=0
Pela fórmula de combinações com repetição (ou “barras e estrelas”), o número de soluções de
binomn+k-1k-1
é
binom17+3-13-1 ;=;binom192
Aqui e , então
E

Resposta

O número de soluções positivas de é

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