Quantas soluções existem para a equação
, sendo que cada
,
, é um inteiro positivo?
Passo 1
Beleza, o enunciado é: “Quantas soluções existem para a equação
sendo cada
Isso cai em “Combinatória – distribuição de unidades (estrelas) em caixas” ou “princípio das barras e estrelas”. Para resolver a gente vai precisar:
1. Entender que inteiro positivo significa
2. Fazer uma troca de variáveis pra trabalhar com variáveis
3. Usar a fórmula de combinações com repetição (ou “barras e estrelas”).
Passo 2
Como
, define a variável
. Aí cada
fica
. Substituindo na soma:
onde agora cada
é inteiro não-negativo.
Passo 3
Agora contamos soluções não-negativas de
Pela fórmula de combinações com repetição (ou “barras e estrelas”), o número de soluções de
é
é
Aqui
e
, então
E
Resposta
O número de soluções positivas de
é