Calcule o número de moléculas de hidrogênio, contidas em um litro de gás sob pressão de 1 atm e na temperatura de 27^circ C, que apresentam energias compreendidas entre 5 kT e 10 kT .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular quantas moléculas de hidrogênio estão presentes em um litro de gás sob pressão de 1 atm e temperatura de 27^circ C, que têm energias entre 5 kT e 10 kT. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais e entender um pouco sobre a Distribuição de Maxwell-Boltzmann para as energias das moléculas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin, já que nas fórmulas de física usamos sempre a escala Kelvin. A fórmula é:
T(K) = T(^circ C) + 273,15
Então,
T = 27 + 273,15 = 300,15 , K

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei dos Gases Ideais para encontrar o número total de moléculas no litro de gás. A lei é:
PV = nRT
Onde:
  • $ P $ é a pressão (1 atm),
  • $ V $ é o volume (1 litro = 0,001 m³),
  • $ n $ é o número de mols,
  • $ R $ é a constante dos gases ideais (aproximadamente 0,0821 L·atm/mol·K),
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin (300,15 K).
Rearranjando para encontrar $ n $:
P

Passo 4

Sabemos que 1 mol contém $ N_A $ moléculas, onde $ N_A $ é o número de Avogadro ($ \approx 6,022 \times 10^{23} $ moléculas/mol). Então, o número total de moléculas é:
NA é

Passo 5

Agora, para encontrar a quantidade de moléculas com energia entre 5 kT e 10 kT, vamos usar a Distribuição de Maxwell-Boltzmann. A distribuição nos dá a probabilidade de uma molécula ter uma certa energia. A fração de moléculas entre 5 kT e 10 kT é dada por:
f = e^-5 - e^-10
Calculando:
f approx e^-5 - e^-10 approx 0,0067 - 0,000045 approx 0,006655

Resposta

Multiplicando a fração $ f $ pelo número total de moléculas:
f é
Então, aproximadamente $ 1,63 \times 10^{20} $ moléculas de hidrogênio no litro de gás possuem energias entre 5 kT e 10 kT.

Exercícios relacionados