Calcule o número de moléculas de hidrogênio, contidas em um litro de gás sob pressão de 1 atm e na temperatura de
, que apresentam energias compreendidas entre 5 kT e 10 kT .
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular quantas moléculas de hidrogênio estão presentes em um litro de gás sob pressão de 1 atm e temperatura de
, que têm energias entre 5 kT e 10 kT. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais e entender um pouco sobre a Distribuição de Maxwell-Boltzmann para as energias das moléculas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin, já que nas fórmulas de física usamos sempre a escala Kelvin. A fórmula é:
Então,
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei dos Gases Ideais para encontrar o número total de moléculas no litro de gás. A lei é:
Onde:
- $ P $ é a pressão (1 atm),
- $ V $ é o volume (1 litro = 0,001 m³),
- $ n $ é o número de mols,
- $ R $ é a constante dos gases ideais (aproximadamente 0,0821 L·atm/mol·K),
- $ T $ é a temperatura em Kelvin (300,15 K).
Rearranjando para encontrar $ n $:
Passo 4
Sabemos que 1 mol contém $ N_A $ moléculas, onde $ N_A $ é o número de Avogadro ($ \approx 6,022 \times 10^{23} $ moléculas/mol). Então, o número total de moléculas é:
Passo 5
Agora, para encontrar a quantidade de moléculas com energia entre 5 kT e 10 kT, vamos usar a Distribuição de Maxwell-Boltzmann. A distribuição nos dá a probabilidade de uma molécula ter uma certa energia. A fração de moléculas entre 5 kT e 10 kT é dada por:
Calculando:
Resposta
Multiplicando a fração $ f $ pelo número total de moléculas:
Então, aproximadamente $ 1,63 \times 10^{20} $ moléculas de hidrogênio no litro de gás possuem energias entre 5 kT e 10 kT.