1.a Prova - Métodos Matemáticos I - F 520 - 1.0 sem 2025
Marcus V. S. Bonança
(2,5). Derive, a partir das derivadas direcionais apropriadas, as expressões para as componentes do gradiente de um campo escalar psi(r) qualquer em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar, usando derivadas direcionais, as expressões das componentes do gradiente de um campo escalar qualquer, psi(r), em coordenadas cilíndricas. Isso envolve calcular como a função muda em diferentes direções no sistema cilíndrico. Vamos precisar entender o que é o gradiente e como trabalhar com coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de um campo escalar psi aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais de psi em relação às coordenadas espaciais. Em coordenadas cartesianas, temos:
nabla psi = ( partial psipartial x, partial psipartial y, partial psipartial z )
Mas aqui vamos trabalhar em coordenadas cilíndricas, que são mais adequadas para situações com simetria circular.

Passo 3

Nas coordenadas cilíndricas, usamos (rho, phi, z), onde:
  • rho é a distância radial do eixo z,
  • phi é o ângulo azimutal,
  • z é a coordenada vertical, igual à cartesiana.
Precisamos expressar as derivadas direcionais nessas coordenadas.

Passo 4

Para encontrar o gradiente em coordenadas cilíndricas, expressamos as derivadas parciais de psi em termos de rho, phi e z. O gradiente será uma combinação das derivadas nessas direções.

Passo 5

As derivadas direcionais nas coordenadas cilíndricas são dadas por:
partial psipartial rho, 1rho partial psipartial phi, partial psipartial z
Note que a derivada em phi é dividida por rho devido à variação angular.

Passo 6

Assim, as componentes do gradiente em coordenadas cilíndricas ficam:
nabla psi = partial psipartial rho , rho + 1rho partial psipartial phi , phi + partial psipartial z , z
Onde rho, phi e z são os vetores unitários nas direções correspondentes.

Resposta

As componentes do gradiente de um campo escalar psi(r) em coordenadas cilíndricas são:
nabla psi = partial psipartial rho , rho + 1rho partial psipartial phi , phi + partial psipartial z , z

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