1.a Prova - Métodos Matemáticos I - F 520 - 1.0 sem 2025
Marcus V. S. Bonança
. Derive, a partir das derivadas direcionais apropriadas, as expressões para as componentes do gradiente de um campo escalar
qualquer em coordenadas cilíndricas.
Marcus V. S. Bonança
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar, usando derivadas direcionais, as expressões das componentes do gradiente de um campo escalar qualquer,
, em coordenadas cilíndricas. Isso envolve calcular como a função muda em diferentes direções no sistema cilíndrico. Vamos precisar entender o que é o gradiente e como trabalhar com coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de um campo escalar
aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais de
em relação às coordenadas espaciais. Em coordenadas cartesianas, temos:
Mas aqui vamos trabalhar em coordenadas cilíndricas, que são mais adequadas para situações com simetria circular.
Passo 3
Nas coordenadas cilíndricas, usamos
, onde:
-
é a distância radial do eixo , -
é o ângulo azimutal, -
é a coordenada vertical, igual à cartesiana.
Precisamos expressar as derivadas direcionais nessas coordenadas.
Passo 4
Para encontrar o gradiente em coordenadas cilíndricas, expressamos as derivadas parciais de
em termos de
,
e
. O gradiente será uma combinação das derivadas nessas direções.
Passo 5
As derivadas direcionais nas coordenadas cilíndricas são dadas por:
Note que a derivada em
é dividida por
devido à variação angular.
Passo 6
Assim, as componentes do gradiente em coordenadas cilíndricas ficam:
Onde
,
e
são os vetores unitários nas direções correspondentes.
Resposta
As componentes do gradiente de um campo escalar
em coordenadas cilíndricas são: