1.a Prova - Métodos Matemáticos I - F 520 - 1.0 sem 2025
Marcus V. S. Bonança
. A partir da Lei de Gauss,
e considerando que
descreve a quantidade de cargas diluídas em um volume
que delimita uma vizinhança na fronteira entre dois meios dielétricos diferentes, mostre que as componentes normais de
à interface entre os meios obedece a seguinte relação
, onde
denota a componente normal no meio
e
a densidade superficial de carga. Dica: escreva
, onde
é a densidade volumétrica de carga e
denota a área da seção feita pela interface dos dois meios no volume
.
Marcus V. S. Bonança
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a Lei de Gauss para mostrar uma relação entre as componentes normais do campo elétrico deslocamento
em dois materiais dielétricos diferentes na interface entre eles. Basicamente, a gente precisa descobrir como as componentes perpendiculares de
se comportam quando passam de um material para o outro, levando em conta uma carga superficial
. Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como ela se aplica em interfaces de materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a quantidade de carga
que está dentro de um volume
próximo à interface. A dica do enunciado sugere que a gente pense nessa carga como sendo composta por duas partes:
- Carga volumétrica:
, onde é a densidade de carga por volume. - Carga superficial:
, onde é a densidade de carga superficial na área da interface.
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo do campo
através de uma superfície fechada
com a carga total dentro dessa superfície:
Substituindo
pela expressão que encontramos no passo anterior:
Passo 4
Vamos analisar essa equação considerando que o volume
está muito próximo da interface entre os dois dielétricos. Quando fazemos
tender a zero, a parte do volume que contém a carga volumétrica
também tende a zero, ficando apenas a carga superficial
na interface. Assim, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos pensar no fluxo de
através da superfície fechada
. Essa superfície cruza a interface entre os dois meios, então o fluxo pode ser dividido nas contribuições de cada meio:
Onde
é a área da interface, e
é a componente normal de
no meio
. Simplificando dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, mostramos que as componentes normais de
na interface entre dois meios dielétricos obedecem à relação: