1.a Prova - Métodos Matemáticos I - F 520 - 1.0 sem 2025
Marcus V. S. Bonança
(2,5). A partir da Lei de Gauss,
ointde
e considerando que de descreve a quantidade de cargas diluídas em um volume de que delimita uma vizinhança na fronteira entre dois meios dielétricos diferentes, mostre que as componentes normais de D à interface entre os meios obedece a seguinte relação Dperp^(2)-Dperp^(1)=sigma, onde Dperp^(j) denota a componente normal no meio j e sigma a densidade superficial de carga. Dica: escreva de, onde rho é a densidade volumétrica de carga e de denota a área da seção feita pela interface dos dois meios no volume de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a Lei de Gauss para mostrar uma relação entre as componentes normais do campo elétrico deslocamento D em dois materiais dielétricos diferentes na interface entre eles. Basicamente, a gente precisa descobrir como as componentes perpendiculares de D se comportam quando passam de um material para o outro, levando em conta uma carga superficial sigma. Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como ela se aplica em interfaces de materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a quantidade de carga de que está dentro de um volume de próximo à interface. A dica do enunciado sugere que a gente pense nessa carga como sendo composta por duas partes:
  1. Carga volumétrica: integralde, onde rho é a densidade de carga por volume.
  2. Carga superficial: integralde, onde sigma é a densidade de carga superficial na área de da interface.
Então, podemos escrever:
de

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo do campo D através de uma superfície fechada de com a carga total dentro dessa superfície:
ointde
Substituindo de pela expressão que encontramos no passo anterior:
ointde

Passo 4

Vamos analisar essa equação considerando que o volume de está muito próximo da interface entre os dois dielétricos. Quando fazemos de tender a zero, a parte do volume que contém a carga volumétrica rho também tende a zero, ficando apenas a carga superficial sigma na interface. Assim, a equação fica:
ointde

Passo 5

Agora, vamos pensar no fluxo de D através da superfície fechada de. Essa superfície cruza a interface entre os dois meios, então o fluxo pode ser dividido nas contribuições de cada meio:
Dperp^(2) cdot A - Dperp^(1) cdot A = sigma cdot A
Onde A é a área da interface, e Dperp^(j) é a componente normal de D no meio j. Simplificando dividindo ambos os lados por A:
Dperp^(2) - Dperp^(1) = sigma

Resposta

Portanto, mostramos que as componentes normais de D na interface entre dois meios dielétricos obedecem à relação:
Dperp^(2) - Dperp^(1) = sigma

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