1.a Prova - Métodos Matemáticos I - F 520 - 1.0 sem 2025
Marcus V. S. Bonança
Considerando as componentes
do tensor de fluxo de densidade de momento linear em um fluido, e admitindo que as componentes
se transformam como um vetor (
são elementos de uma matriz cuja inversa é a transposta), mostre que
se transforma como componentes de um vetor.
Marcus V. S. Bonança
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolvê-la. A gente está trabalhando com tensor de fluxo de densidade de momento linear em um fluido, representado por:
Aqui, $ p(\mathrm{r}) $ é a pressão, $ \rho(\mathbf{r}) $ é a densidade, e $ v_{\mu} $ são as componentes da velocidade do fluido. A questão quer que a gente mostre que a divergente desse tensor, $ (\nabla \cdot \Pi)_{\mu} $, se transforma como um vetor quando aplicamos uma transformação nas componentes de velocidade.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Transformações de vetores e tensores: como os componentes mudam quando mudamos de sistema de coordenadas.
- Divergente de um tensor: como calcular $ \nabla \cdot \Pi $.
Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação das componentes de velocidade. A questão nos diz que as componentes $ v_{\mu} $ se transformam como um vetor:
Aqui, $ a_{\mu \nu’} $ são os elementos de uma matriz cuja inversa é a transposta. Isso quer dizer que estamos aplicando uma transformação linear às componentes da velocidade, típica de como vetores se comportam quando mudamos de sistema de coordenadas.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o tensor $ \Pi_{\mu \nu} $. Ele é composto de duas partes:
- $ p(\mathrm{r}) \delta_{\mu \nu} $: onde $ \delta_{\mu \nu} $ é o delta de Kronecker, que é 1 quando $ \mu = \nu $ e 0 caso contrário.
- $ \rho(\mathbf{r}) v_{\mu} v_{\nu} $: que envolve as componentes de velocidade multiplicadas pela densidade.
A coisa interessante aqui é que, ao transformar as componentes de $ v_{\mu} $, precisamos ver como isso afeta todo o tensor $ \Pi_{\mu \nu} $.
Passo 4
Vamos calcular a divergente do tensor $ \Pi $. A divergente $ (\nabla \cdot \Pi)_{\mu} $ é dada por:
Aqui, $ q_{\nu} $ são as coordenadas espaciais. Nosso objetivo é mostrar que essa expressão se transforma como um vetor quando aplicamos a transformação nas componentes de velocidade.
Passo 5
Para mostrar que $ (\nabla \cdot \Pi){\mu} $ se comporta como um vetor, precisamos aplicar a transformação às derivadas. Sabemos que as derivadas parciais transformam de maneira que preserva a forma de um vetor. Então, ao aplicar a transformação $ v{\mu} = \sum_{\nu’} a_{\mu \nu’} v_{\nu’} $, a expressão para a divergente também será linearmente transformada de forma que mantém a estrutura vetorial.
Passo 6
Vamos detalhar isso um pouco mais. Quando transformamos $ v_{\mu} $, a parte $ \rho(\mathbf{r}) v_{\mu} v_{\nu} $ do tensor $ \Pi_{\mu \nu} $ se transforma como:
Isso mostra que cada componente de $ v $ está sendo linearmente transformada, e a estrutura do tensor mantém essa linearidade.
Passo 7
Finalmente, ao calcular a divergente, a combinação das transformações lineares e das derivadas parciais resulta em uma expressão que respeita as regras de transformação de um vetor. Ou seja, $ (\nabla \cdot \Pi)_{\mu} $ possui as mesmas propriedades de transformação que um vetor, confirmando o que a questão pediu.
Resposta
Portanto, demonstramos que $ (\nabla \cdot \Pi)_{\mu} $ se transforma como componentes de um vetor quando aplicamos a transformação nas componentes de velocidade, conforme solicitado.