A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale:
a) 14 .
b) 13 .
c) 12.
d) 9 .
e) 8 .

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no plano e pergunta a distância entre eles. Informações fornecidas:
  • Ponto M(4,-5).
  • Ponto N(-1,7).
  • Alternativas:
    a) 14.
    b) 13.
    c) 12.
    d) 9.
    e) 8.
    O que se pede: determinar a distância entre M e N e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (e por que ela vale). Para dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) no plano, a distância d entre eles é dada por
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Explicação didática: imagine o segmento que liga os pontos como a hipotenusa de um triângulo retângulo. O cateto horizontal vale a diferença das abscissas (x_2-x_1) e o cateto vertical vale a diferença das ordenadas (y_2-y_1). Aplicando o Teorema de Pitágoras, a hipotenusa (distância) é a raiz quadrada da soma dos quadrados desses catetos. Aqui cada símbolo significa:
  • x_1,y_1: coordenadas do primeiro ponto;
  • x_2,y_2: coordenadas do segundo ponto;
  • d: distância entre os pontos.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos pontos dados. Escolho x_1=4, y_1=-5 (para M) e x_2=-1, y_2=7 (para N). Calculo as diferenças:
\Delta x = x_1 - x_2 = 4 - (-1) = 5,
\Delta y = y_1 - y_2 = -5 - 7 = -12.
Observação: o sinal das diferenças não importa no passo seguinte porque vamos elevar ao quadrado.

Passo 4

Elevar as diferenças ao quadrado:
(\Delta x)^2 = 5^2 = 25,
(\Delta y)^2 = (-12)^2 = 144.

Passo 5

Somar os quadrados e extrair a raiz:
(\Delta x)^2+(\Delta y)^2 = 25 + 144 = 169,
d = \sqrt{169} = 13.

Passo 6

Interpretação final e escolha da alternativa: a distância entre M e N é 13, que corresponde à alternativa b).

Resposta

b) 13.

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