Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD . Se \mathrm{A}=(-2,3) e C=(0,5), a área de A B C D, em unidades de área, é:
a) 4
b) 4 \sqrt{ } 2
c) 8
d) 8 \sqrt{ } 2
e) 16

Passo 1

O enunciado dá um quadrado A B C D e informa as coordenadas dos pontos A e C, que são extremos de uma diagonal. Dados importantes que temos:
  • A = (-2,3).
  • C = (0,5).
    O que se pede:
  • A área do quadrado A B C D, em unidades de área. (Opções: (a) 4; (b) 4\sqrt{2}; (c) 8; (d) 8\sqrt{2}; (e) 16.)

Passo 2

Vamos usar as coordenadas para obter o vetor que vai de A a C. A regra para subtrair coordenadas é: o vetor \overrightarrow{AC} tem componentes
\overrightarrow{AC}=(x_C-x_A,\;y_C-y_A).
Aplicando com A=(-2,3) e C=(0,5) obtemos
\overrightarrow{AC}=(0-(-2),\;5-3)=(2,\;2).

Passo 3

Agora calculamos o comprimento da diagonal AC usando a fórmula da distância entre dois pontos (que vem do Teorema de Pitágoras). Se \overrightarrow{AC}=(\Delta x,\Delta y), então
|AC|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}.
Aqui \Delta x=2 e \Delta y=2, logo
|AC|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.

Passo 4

Em um quadrado de lado s a diagonal d satisfaz a relação (obtida pelo triângulo retângulo formado por dois lados do quadrado):
d=s\sqrt{2}.
Dessa equação isolamos o lado s:
s=\frac{d}{\sqrt{2}}.

Passo 5

A área A_{\text{quad}} do quadrado é s^2. Substituindo s=\dfrac{d}{\sqrt{2}} obtemos
A_{\text{quad}}=s^2=\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{d^2}{2}.
Já temos d=|AC|=2\sqrt{2}, então
d^2=(2\sqrt{2})^2=4\cdot 2=8.
Portanto
A_{\text{quad}}=\frac{8}{2}=4.

Resposta

a) 4

Exercícios relacionados