Calcule o número de subintervalos, para avaliar integral0^pi2 cos (x) d x, com erro inferior a 10^-3 pela regra de Simpson.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral integral0^pi2cos(x),dx usando a regra de Simpson e determinar quantos subintervalos n (par) são necessários para que o erro seja menor que 10^-3. Vamos usar o conteúdo de estimativa de erro da regra de Simpson e precisar da derivada de quarta ordem de f(x)=cos(x).

Passo 2

Temos f(x)=cos(x). As derivadas são ciclicamente senóide e cosinóide, em particular a quarta derivada é f^(4)(x)=cos(x)No intervalo [0,pi/2] o módulo máximo de cos(x) é M=1.

Passo 3

A fórmula de estimativa de erro da regra de Simpson em [a,b] é
l|ESr|<= (b-a)^5180,n^4,M

Passo 4

Aqui a=0, b=pi2 e queremos tfrac(pi2-0)^5180,n^4,<10^-3. Logo impomos
l(tfracpi2r)^5180,n^4<10^-3

Passo 5

Isolando n^4 e calculando numericamente:
n^4>l(tfracpi2r)^5180times10^-3approx53,13Longrightarrow n>raiz[4]53,13approx2,70Como n deve ser par, o menor n inteiro par que satisfaz é n=4.

Resposta

4

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