Sejam as seguintes integrais
(d) integral2^14 d xraizx
Calcule um valor aproximado usando:
vi) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10^-5, usando a regra dos retângulos repetida.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral da função f(x)=1/raizx de 2 a 14 usando a regra composta dos retângulos (pelo ponto médio) e determinar quantas subdivisões n são necessárias para que o erro fique abaixo de 10^-5. Vamos usar a fórmula de estimativa de erro dessa regra.

Passo 2

Para a regra dos retângulos pelo ponto médio composta, com passo h=(b-a)/n, a estimativa do erro em valor absoluto é dada por
|E|<=(b-a)24,h^2maxxin[a,b]|f''(x)|
Aqui temos a=2, b=14 e h=(14-2)/n=12/n.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f(x)=x^-1/2:
f'(x)=-tfrac12x^-3/2,
f''(x)=tfrac34x^-5/2
Como x^-5/2 é decrescente para x>0, o máximo de |f''(x)| em [2,14] ocorre em x=2:
max|f''(x)|=f''(2)=34,2^-5/2=34cdot2^5/2=316raiz2

Passo 4

Substituindo na fórmula de erro:
|E|<=14-224gl(12ngr)^2316raiz2 =1224144n^2316raiz2 =12144n^2316raiz2 =43232raiz2,n^2 =13.5raiz2,n^2approx9.5459n^2
Para garantir $ |E|<10^{-5} $ precisamos de
|E|<10^-5 Como 9.5459n^2<10^-5 Longrightarrow n^2>9.5459times10^5 Longrightarrow n>raiz9.5459times10^5approx977.06 deve ser inteiro, o menor valor que satisfaz é n.

Resposta

978

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