Determine as derivadas parciais de f de ordem 1 em todos os pontos do domínio no caso abaixo.
f(x, y, z)=|(x, y, z)|

Passo 1

Estamos com a função f:R^3toR dada por f(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de f em cada ponto do domínio, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, escrevemos f como composição de g(u)=raizu com u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2. Assim, f(x,y,z)=gl(u(x,y,z)r).

Passo 3

Calculamos primeiro as derivadas de cada parte:
g'(u)=tfrac12raizu.
partial upartial x=2x, partial upartial y=2y e partial upartial z=2z.

Passo 4

Agora, pela regra da cadeia, por exemplo,
partial fpartial x=g'(u)cdotpartial upartial x=12raizucdot(2x)=xraizu.
De modo análogo obtemos
partial fpartial y=yraizu e
partial fpartial z=zraizu,
onde u=x^2+y^2+z^2.

Passo 5

Note que essas fórmulas envolvem divisão por raizx^2+y^2+z^2, que é zero quando (x,y,z)=(0,0,0). Portanto, em (0,0,0) não existem as derivadas parciais, pois o limite correspondente falha.

Passo 6

Reunindo tudo, temos as expressões das derivadas parciais para (x,y,z)neq(0,0,0) e a observação de não existência em (0,0,0).

Resposta

Para todo ponto (x,y,z)neq(0,0,0):
partial fpartial x(x,y,z)=xraizx^2+y^2+z^2, partial fpartial y(x,y,z)=yraizx^2+y^2+z^2, partial fpartial z(x,y,z)=zraizx^2+y^2+z^2
Em (0,0,0) as derivadas parciais não existem, pois o denominador fica zero.

Exercícios relacionados