Determine as derivadas parciais de
de ordem 1 em todos os pontos do domínio no caso abaixo.
Passo 1
Estamos com a função
dada por
. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de
em cada ponto do domínio, usando a regra da cadeia.
Passo 2
Para aplicar a regra da cadeia, escrevemos
como composição de
com
. Assim,
.
Passo 3
Calculamos primeiro as derivadas de cada parte:
• .
• ,
e
.
•
•
Passo 4
Agora, pela regra da cadeia, por exemplo,
• .
De modo análogo obtemos
• e
• ,
onde .
•
De modo análogo obtemos
•
•
onde
Passo 5
Note que essas fórmulas envolvem divisão por
, que é zero quando
. Portanto, em
não existem as derivadas parciais, pois o limite correspondente falha.
Passo 6
Reunindo tudo, temos as expressões das derivadas parciais para
e a observação de não existência em
.
Resposta
Para todo ponto
:
Em
as derivadas parciais não existem, pois o denominador fica zero.