Calcule \oint_{c} \frac{e{z}+z}{(z-1){4}} d z onde
é uma curva fechada simples
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do contorno
onde
é a curva
orientada positivamente. O conteúdo envolvido seria o Teorema dos Resíduos ou a Fórmula de Cauchy para derivadas, desde que o integrando seja analítico em e no interior de
, exceto em polos isolados estritamente dentro de
.
Passo 2
Identificamos a única singularidade do integrando: o ponto
, que é um polo de ordem 4 devido ao fator
. Não há outras singularidades, pois
é função inteira.
Passo 3
A curva
tem raio 1 e centro na origem, então o ponto
fica exatamente na fronteira de
, não no interior aberto
nem no exterior.
Passo 4
O Teorema dos Resíduos (ou a Fórmula de Cauchy) exige que os polos estejam estritamente dentro do contorno. Quando um polo fica sobre a própria trajetória de integração, o integral de contorno não está bem definido no sentido usual (não converte em valor único via teoria clássica).
Resposta
O integral não está definido, pois o polo de ordem 4 em
fica exatamente sobre a curva
.