Calcule \oint_{c} \frac{e{z}+z}{(z-1){4}} d z onde C é uma curva fechada simples |z|=1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do contorno
\oint_{C}\frac{e^{z}+z}{(z-1)^{4}}\,dz
onde C é a curva \lvert z\rvert=1 orientada positivamente. O conteúdo envolvido seria o Teorema dos Resíduos ou a Fórmula de Cauchy para derivadas, desde que o integrando seja analítico em e no interior de C, exceto em polos isolados estritamente dentro de C.

Passo 2

Identificamos a única singularidade do integrando: o ponto z=1, que é um polo de ordem 4 devido ao fator (z-1)^{-4}. Não há outras singularidades, pois e^{z}+z é função inteira.

Passo 3

A curva C\colon\lvert z\rvert=1 tem raio 1 e centro na origem, então o ponto z=1 fica exatamente na fronteira de C, não no interior aberto \{\,z:\lvert z\rvert<1\} nem no exterior.

Passo 4

O Teorema dos Resíduos (ou a Fórmula de Cauchy) exige que os polos estejam estritamente dentro do contorno. Quando um polo fica sobre a própria trajetória de integração, o integral de contorno não está bem definido no sentido usual (não converte em valor único via teoria clássica).

Resposta

O integral não está definido, pois o polo de ordem 4 em z=1 fica exatamente sobre a curva \lvert z\rvert=1.

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