Prove que \log _{10}(2) não é um número racional.

Passo 1

O enunciado pede para provar que \log_{10}(2) não pode ser expresso como quociente de dois inteiros, ou seja, é irracional. Vamos usar prova por contradição e propriedades de potências de números inteiros.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que \log_{10}(2) seja racional. Então existem inteiros p e q>0 tais que
\log_{10}(2)=\frac{p}{q}.

Passo 3

A partir de \log_{10}(2)=\tfrac{p}{q} obtemos
10^{\frac{p}{q}}=2.
Elevando ambos os lados à potência q, vem
10^p = 2^q.
Como 10^p = (2\cdot5)^p = 2^p\,5^p, segue
2^p\,5^p = 2^q \quad\Longrightarrow\quad 5^p = 2^{\,q-p}.
O lado esquerdo é uma potência de 5 e o direito é uma potência de 2. Para inteiros positivos isso só seria possível se ambos valessem 1, mas 5^p>1 e 2^{q-p}>1. Há, então, contradição.

Passo 4

Como chegamos a uma contradição a partir da hipótese de racionalidade, concluímos que \log_{10}(2) não é racional.

Resposta

\log_{10}(2) é irracional.

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