Prove que
não é um número racional.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
não pode ser expresso como quociente de dois inteiros, ou seja, é irracional. Vamos usar prova por contradição e propriedades de potências de números inteiros.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja racional. Então existem inteiros
e
tais que
Passo 3
A partir de
obtemos
Elevando ambos os lados à potência
, vem
Como
, segue
O lado esquerdo é uma potência de
e o direito é uma potência de
. Para inteiros positivos isso só seria possível se ambos valessem
, mas
e
. Há, então, contradição.
Passo 4
Como chegamos a uma contradição a partir da hipótese de racionalidade, concluímos que
não é racional.