Calcule
\oint_{C}(2 x y z+2 x) d x+x^{2} z d y+x^{2} y d z,
onde C é a curva obtida como interseção da superfície
z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}
com o plano
x+y=2 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
  • O integrando é uma forma de linha do tipo P\,dx+Q\,dy+R\,dz com P(x,y,z)=2 x y z+2 x,\qquad Q(x,y,z)=x^{2} z,\qquad R(x,y,z)=x^{2} y.
  • A curva C é a interseção da superfície z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}(meio-símfero superior de raio 2) com o plano x+y=2.Essa interseção é uma curva fechada (um círculo) contida no plano x+y=2.
  • O enunciado pede o valor do integral de linha fechado \oint_{C}\bigl( (2 x y z+2 x)\,d x + x^{2} z\,d y + x^{2} y\,d z\bigr).

Passo 2

Escolha do método e formula que usarei (sem computar ainda).
  • Para integrais de linha de um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) ao redor de uma curva fechada \;C=\partial S\;, uma ferramenta natural é o Teorema de Stokes. Ele afirma: \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,onde S é qualquer superfície cuja borda seja C e \mathbf{n} é o versor normal à superfície (orientação consistente).
  • Neste problema é conveniente escolher S como o disco planar contido no plano x+y=2 e limitado pela curva C (isso simplifica a geometria). Mas antes de precisar do normal, devemos calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{F}: se o rotacional for o vetor nulo, então a integral de superfície será zero e portanto a integral de linha será zero, independentemente da superfície escolhida (desde que tudo esteja bem definido).

Passo 3

Cálculo explícito do rotacional \nabla\times\mathbf{F}.
  • Lembrando a fórmula para o rotacional de \mathbf{F}=(P,Q,R):
    \nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
  • Calculemos cada derivada parcial usando P=2 x y z+2 x, Q=x^{2} z, R=x^{2} y.
    1. Primeiro componente:
    \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2} y)=x^{2}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x^{2} z)=x^{2},
    portanto
    \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=x^{2}-x^{2}=0.
    1. Segundo componente:
    \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(2 x y z+2 x)=2 x y, \qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2} y)=2 x y,
    portanto
    \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=2 x y-2 x y=0.
    1. Terceiro componente:
    \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2} z)=2 x z, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2 x y z+2 x)=2 x z,
    portanto
    \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2 x z-2 x z=0.
  • Conclusão deste passo:
    \nabla\times\mathbf{F}=(0,0,0).
    O campo é irrotacional (rotacional nulo) em todo o espaço onde está definido.

Passo 4

Interpretação e aplicação do Teorema de Stokes ao nosso caso.
  • Como \nabla\times\mathbf{F}=(0,0,0), o integrando da integral de superfície é identicamente zero: (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=0para qualquer vetor normal \mathbf{n}.
  • Pelo Teorema de Stokes, tomando S como o disco no plano x+y=2 cujo contorno é C, obtemos \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{S}0\,dS=0.
  • Observação prática e intuitiva: quando o rotacional é zero a contribuição local de “rotacão” do campo é nula em toda parte, de modo que a integral de linha ao redor de uma curva fechada (bordo de qualquer superfície bem comportada) é zero — não importa a forma da superfície, desde que as hipóteses de Stokes valham e o campo seja bem definido na região.

Passo 5

Remate didático e verificação de hipóteses (empurrando um pouco a intuição).
  • Uma alternativa que às vezes é pedida em provas é verificar se \mathbf{F} é gradiente de alguma função potencial \varphi (isto é, se \mathbf{F}=\nabla\varphi). Se tal \varphi existe numa região simplesmente conexa que contém C, então a integral sobre qualquer curva fechada é zero. O cálculo do rotacional nulo é a verificação prática mais simples dessa possibilidade.
  • No nosso caso não foi preciso encontrar \varphi: a nulidade do rotacional basta para concluir que a integral é zero por Stokes.

Resposta

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