Calcule
onde
é a curva obtida como interseção da superfície
com o plano
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
- O integrando é uma forma de linha do tipo
com - A curva
é a interseção da superfície (meio-símfero superior de raio ) com o plano Essa interseção é uma curva fechada (um círculo) contida no plano . - O enunciado pede o valor do integral de linha fechado
Passo 2
Escolha do método e formula que usarei (sem computar ainda).
- Para integrais de linha de um campo vetorial
ao redor de uma curva fechada , uma ferramenta natural é o Teorema de Stokes. Ele afirma: onde é qualquer superfície cuja borda seja e é o versor normal à superfície (orientação consistente). - Neste problema é conveniente escolher
como o disco planar contido no plano e limitado pela curva (isso simplifica a geometria). Mas antes de precisar do normal, devemos calcular o rotacional : se o rotacional for o vetor nulo, então a integral de superfície será zero e portanto a integral de linha será zero, independentemente da superfície escolhida (desde que tudo esteja bem definido).
Passo 3
Cálculo explícito do rotacional
.
-
Lembrando a fórmula para o rotacional de
: -
Calculemos cada derivada parcial usando
, , . - Primeiro componente:
portanto- Segundo componente:
portanto- Terceiro componente:
portanto -
Conclusão deste passo:O campo é irrotacional (rotacional nulo) em todo o espaço onde está definido.
Passo 4
Interpretação e aplicação do Teorema de Stokes ao nosso caso.
- Como
, o integrando da integral de superfície é identicamente zero: para qualquer vetor normal . - Pelo Teorema de Stokes, tomando
como o disco no plano cujo contorno é , obtemos - Observação prática e intuitiva: quando o rotacional é zero a contribuição local de “rotacão” do campo é nula em toda parte, de modo que a integral de linha ao redor de uma curva fechada (bordo de qualquer superfície bem comportada) é zero — não importa a forma da superfície, desde que as hipóteses de Stokes valham e o campo seja bem definido na região.
Passo 5
Remate didático e verificação de hipóteses (empurrando um pouco a intuição).
- Uma alternativa que às vezes é pedida em provas é verificar se
é gradiente de alguma função potencial (isto é, se ). Se tal existe numa região simplesmente conexa que contém , então a integral sobre qualquer curva fechada é zero. O cálculo do rotacional nulo é a verificação prática mais simples dessa possibilidade. - No nosso caso não foi preciso encontrar
: a nulidade do rotacional basta para concluir que a integral é zero por Stokes.
Resposta
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