Seja
F(x, y, z)=\left(e^{x} y+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, e^{x} \cos y+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, z^{2}\right) .
Mostre que o valor da integral do campo F ao longo de qualquer curva fechada C que não intercepte o eixo z é zero.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z)=\left(e^{x}y+\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\;e^{x}\cos y+\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\;z^{2}\right)
e pede para mostrar que a integral de linha de F ao longo de qualquer curva fechada C que não intercepte o eixo z é igual a zero.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva C é fechada e não intersecta o eixo z, isto é, nem um ponto de C tem (x,y)=(0,0).
  • O campo F está definido e suave em \mathbb{R}^3 exceto possivelmente sobre o eixo z, por causa dos termos \dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} e \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}.
  • O objetivo declarado é mostrar que \displaystyle\oint_C F\cdot d\mathbf r=0 para qualquer tal curva C.

Passo 2

Vamos calcular o rotacional (curl) do campo F. Lembrando que, para F=(P,Q,R),
\operatorname{curl}F=\nabla\times F=\left(R_{y}-Q_{z},\;P_{z}-R_{x},\;Q_{x}-P_{y}\right),
onde subscrito denota derivada parcial.
Aqui P(x,y,z)=e^{x}y+\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}, Q(x,y,z)=e^{x}\cos y+\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}} e R(x,y,z)=z^{2}.
Calculemos cada componente:
  • R_{y}=0 e Q_{z}=0, então a primeira componente é 0-0=0.
  • P_{z}=0 e R_{x}=0, então a segunda componente é 0-0=0.
  • Para a terceira componente: Q_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(e^{x}\cos y+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) =e^{x}\cos y-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
P_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(e^{x}y+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) =e^{x}-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Subtraindo,
Q_{x}-P_{y}=e^{x}\cos y - e^{x}=e^{x}(\cos y-1).
Portanto obtemos o rotacional
\operatorname{curl}F=(0,0,e^{x}(\cos y-1)).
Comentário didático rápido: o rotacional mede a tendência local do campo a “rodar” em torno de um eixo; ele aparece na fórmula de Stokes que relaciona circulação ao fluxo do rotacional através de uma superfície.

Passo 3

Aplicaremos o Teorema de Stokes (em 3D): se S é uma superfície suave orientada com bordo \partial S=C e F é suave em uma vizinhança de S, então
\oint_{C}F\cdot d\mathbf r=\iint_{S}(\operatorname{curl}F)\cdot \mathbf n\,dS,
onde \mathbf n é a normal unitária de S.
Portanto, para qualquer superfície S cujo bordo seja C e que esteja contida na região onde F é suave (ou seja, S não intersecta o eixo z), a circulação será igual ao fluxo do rotacional através de S.

Passo 4

A suposição do enunciado é que a integral ao longo de qualquer curva fechada C (que não intersecte o eixo z) é zero. Para verificar se isso é verdadeiro em geral, escolhemos um exemplo concreto de curva C que satisfaça a condição (não tocar o eixo z) e calculamos a integral por Stokes.
Escolha S como o disco plano em z=0 de centro (x_{0},y_{0})=(2,\tfrac{\pi}{2}) e raio \rho pequeno (por exemplo \rho=0{,}1). Denotemos C=\partial S (curva positiva). Essa curva não intersecta o eixo z porque todos os pontos do disco têm x perto de 2, ou seja (x,y)\neq(0,0).
Usando Stokes,
\oint_{C}F\cdot d\mathbf r=\iint_{S}(\operatorname{curl}F)\cdot \mathbf n\,dS.
Para o disco plano em z=0 a normal unitária pode ser escolhida \mathbf n=(0,0,1), logo
(\operatorname{curl}F)\cdot\mathbf n=e^{x}(\cos y-1).
Se \rho for pequeno, sobre S a função e^{x}(\cos y-1) é aproximadamente constante e igual a e^{x_{0}}(\cos y_{0}-1). Aqui y_{0}=\tfrac{\pi}{2} então \cos y_{0}=0, portanto \cos y_{0}-1=-1. Assim, para \rho pequeno,
\oint_{C}F\cdot d\mathbf r \approx e^{x_{0}}(\cos y_{0}-1)\cdot \operatorname{Area}(S) = e^{2}\cdot(-1)\cdot \pi\rho^{2}=-\pi\rho^{2}e^{2}.
Escolhendo, por exemplo, \rho=0{,}1, obtemos uma estimativa numérica
\oint_{C}F\cdot d\mathbf r \approx -\pi(0{,}1)^{2}e^{2}\approx -0{,}2319\neq 0.
Explicação didática: como o rotacional não é identicamente nulo (vemos que \operatorname{curl}F tem terceira componente e^{x}(\cos y-1) que, em muitos pontos, é diferente de zero), ao escolher uma pequena superfície onde essa quantidade mantém sinal não nulo, o fluxo do rotacional através dessa superfície será não nulo, e então a circulação em torno do bordo também será não nula. Assim não é verdade, em geral, que toda circulação fechada seja zero.

Passo 5

Conclusão lógica: a afirmação do enunciado — que a integral de F ao longo de qualquer curva fechada C que não intercepte o eixo z é zero — é falsa em geral. O cálculo do rotacional mostra que \operatorname{curl}F não é identicamente zero; por Stokes, existem superfícies (com bordo não cortando o eixo z) cujo fluxo do rotacional é diferente de zero, dando circulações não nulas. Apresentei um contraexemplo explícito (disco centrado em (2,\tfrac{\pi}{2},0) de raio \rho=0{,}1) que dá uma circulação aproximadamente -0{,}2319.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, para C círculo em z=0 centrado em (2,\tfrac{\pi}{2}) com raio \rho=0{,}1 obtém-se
\displaystyle \oint_{C}F\cdot d\mathbf r\approx -\pi\rho^{2}e^{2}\approx -0{,}2319\neq0.

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