Seja
Mostre que o valor da integral do campo
ao longo de qualquer curva fechada
que não intercepte o eixo
é zero.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para mostrar que a integral de linha de
ao longo de qualquer curva fechada
que não intercepte o eixo
é igual a zero.
Informações relevantes fornecidas:
- A curva
é fechada e não intersecta o eixo , isto é, nem um ponto de tem . - O campo
está definido e suave em exceto possivelmente sobre o eixo , por causa dos termos e . - O objetivo declarado é mostrar que
para qualquer tal curva .
Passo 2
Vamos calcular o rotacional (curl) do campo
. Lembrando que, para
,
onde subscrito denota derivada parcial.
Aqui
,
e
.
Calculemos cada componente:
-
e , então a primeira componente é . -
e , então a segunda componente é . - Para a terceira componente:
Subtraindo,
Portanto obtemos o rotacional
Comentário didático rápido: o rotacional mede a tendência local do campo a “rodar” em torno de um eixo; ele aparece na fórmula de Stokes que relaciona circulação ao fluxo do rotacional através de uma superfície.
Passo 3
Aplicaremos o Teorema de Stokes (em 3D): se
é uma superfície suave orientada com bordo
e
é suave em uma vizinhança de
, então
onde
é a normal unitária de
.
Portanto, para qualquer superfície
cujo bordo seja
e que esteja contida na região onde
é suave (ou seja,
não intersecta o eixo
), a circulação será igual ao fluxo do rotacional através de
.
Passo 4
A suposição do enunciado é que a integral ao longo de qualquer curva fechada
(que não intersecte o eixo
) é zero. Para verificar se isso é verdadeiro em geral, escolhemos um exemplo concreto de curva
que satisfaça a condição (não tocar o eixo
) e calculamos a integral por Stokes.
Escolha
como o disco plano em
de centro
e raio
pequeno (por exemplo
). Denotemos
(curva positiva). Essa curva não intersecta o eixo
porque todos os pontos do disco têm
perto de
, ou seja
.
Usando Stokes,
Para o disco plano em
a normal unitária pode ser escolhida
, logo
Se
for pequeno, sobre
a função
é aproximadamente constante e igual a
. Aqui
então
, portanto
. Assim, para
pequeno,
Escolhendo, por exemplo,
, obtemos uma estimativa numérica
Explicação didática: como o rotacional não é identicamente nulo (vemos que
tem terceira componente
que, em muitos pontos, é diferente de zero), ao escolher uma pequena superfície onde essa quantidade mantém sinal não nulo, o fluxo do rotacional através dessa superfície será não nulo, e então a circulação em torno do bordo também será não nula. Assim não é verdade, em geral, que toda circulação fechada seja zero.
Passo 5
Conclusão lógica: a afirmação do enunciado — que a integral de
ao longo de qualquer curva fechada
que não intercepte o eixo
é zero — é falsa em geral. O cálculo do rotacional mostra que
não é identicamente zero; por Stokes, existem superfícies (com bordo não cortando o eixo
) cujo fluxo do rotacional é diferente de zero, dando circulações não nulas. Apresentei um contraexemplo explícito (disco centrado em
de raio
) que dá uma circulação aproximadamente
.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, para
círculo em
centrado em
com raio
obtém-se
.