A curva de integração é o círculo |z|=2 (assumimos orientação positiva, i.e. anti-horária).
O integrando tem singularidade em z=\dfrac{\pi}{2}.
Observe que \dfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708 e portanto \left|\dfrac{\pi}{2}\right|<2, isto é, o ponto z=\dfrac{\pi}{2} está dentro do círculo |z|=2.
Foi sugerido usar a representação integral para derivadas (ou seja, a fórmula integral de Cauchy para derivadas).
Passo 2
Vou recordar a fórmula que precisamos (escrevendo como uma “aula rápida” sobre ela): se f é holomorfa (analítica) em um aberto que contém uma curva simples fechada \gamma e sua região interior, e se a está no interior de \gamma, então, para inteiro n\ge0,
f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada da função f avaliada em a.
n! é o fatorial de n.
A integral \oint_{\gamma} é tomada ao longo da curva \gamma orientada positivamente.
Esta fórmula permite transformar uma integral com denomínio (z-a)^{n+1} numa derivada de f em a.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: escolhemos
f(z)=z-3\cos z
e
a=\frac{\pi}{2}.
Note que f é inteira (ou seja, holomorfa em todo \mathbb{C}), pois z\mapsto z e z\mapsto\cos z são inteiras. Assim as hipóteses da fórmula estão satisfeitas. Nosso integrando tem (z-a)^{2} no denominador, que corresponde a n=1 (porque (z-a)^{n+1}=(z-a)^{2} quando n=1). Pela fórmula com n=1 temos