Calcule \oint_{|z|=2} \frac{z-3 \cos z}{\left(z-\frac{\pi}{2}\right)^{2}} d z. Sugestão: Use a representação integral para derivadas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{|z|=2} \frac{z-3\cos z}{\left(z-\frac{\pi}{2}\right)^{2}}\,dz.
Informações dadas relevantes:
  • A curva de integração é o círculo |z|=2 (assumimos orientação positiva, i.e. anti-horária).
  • O integrando tem singularidade em z=\dfrac{\pi}{2}.
  • Observe que \dfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708 e portanto \left|\dfrac{\pi}{2}\right|<2, isto é, o ponto z=\dfrac{\pi}{2} está dentro do círculo |z|=2.
  • Foi sugerido usar a representação integral para derivadas (ou seja, a fórmula integral de Cauchy para derivadas).

Passo 2

Vou recordar a fórmula que precisamos (escrevendo como uma “aula rápida” sobre ela): se f é holomorfa (analítica) em um aberto que contém uma curva simples fechada \gamma e sua região interior, e se a está no interior de \gamma, então, para inteiro n\ge0,
f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz.
O que cada símbolo significa:
  • f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada da função f avaliada em a.
  • n! é o fatorial de n.
  • A integral \oint_{\gamma} é tomada ao longo da curva \gamma orientada positivamente.
  • Esta fórmula permite transformar uma integral com denomínio (z-a)^{n+1} numa derivada de f em a.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: escolhemos
f(z)=z-3\cos z
e
a=\frac{\pi}{2}.
Note que f é inteira (ou seja, holomorfa em todo \mathbb{C}), pois z\mapsto z e z\mapsto\cos z são inteiras. Assim as hipóteses da fórmula estão satisfeitas. Nosso integrando tem (z-a)^{2} no denominador, que corresponde a n=1 (porque (z-a)^{n+1}=(z-a)^{2} quando n=1). Pela fórmula com n=1 temos
\oint_{|z|=2}\frac{f(z)}{(z-a)^{2}}\,dz = 2\pi i\, f'(a).

Passo 4

Agora precisamos calcular f'(z). Derivando termo a termo:
  • A derivada de z é 1.
  • A derivada de \cos z é -\sin z. Multiplicando por -3 (pois f tem -3\cos z) obtemos -3\cdot(-\sin z)=3\sin z.
    Portanto
f'(z)=1+3\sin z.
Observação rápida: diferenciamos funções complexas como fazemos no caso real; as regras de derivação são as mesmas e \sin z é inteira.

Passo 5

Avalie f' em a=\dfrac{\pi}{2}:
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,
portanto
f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+3\cdot 1=4.

Passo 6

Usando o resultado do Passo 3:
\oint_{|z|=2}\frac{z-3\cos z}{\left(z-\frac{\pi}{2}\right)^{2}}\,dz = 2\pi i \, f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi i \cdot 4 = 8\pi i.

Resposta

8\pi i

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