Calcule \oint_{C} \frac{1}{z-z_{0}} d z, onde C é um caminho simples, fechado, percorrido uma única vez no sentido anti-horário, que não passa por z_{0} e z_{0} \in \mathbb{C} é uma constante complexa. Sugestão: Considere separadamente os casos em que z_{0} está no interior e no exterior do caminho C.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha complexa
\oint_{C} \frac{1}{z-z_{0}}\,dz
onde C é um caminho simples, fechado, percorrido uma única vez no sentido anti-horário (sentido positivo), que não passa por z_{0}. O enunciado sugere considerar separadamente os casos em que z_{0} está no interior de C e no exterior de C.
Informações dadas e esclarecimentos importantes:
  • C é um laço simples fechado e orientado no sentido anti-horário.
  • C não passa por z_{0}.
  • Devemos avaliar a integral quando z_{0} está dentro da região limitada por C (interior) e quando z_{0} está fora dessa região (exterior).

Passo 2

Ideia geral que vamos usar (explicação didática):
  • Em integração complexa, se a função integranda é holomorfa (analítica) numa vizinhança aberta que contém o interior de C e o próprio C, então a integral ao redor de C é zero (teorema de Cauchy). Vou explicar em miúdos:
    • Uma função f é holomorfa num conjunto quando é diferenciável em cada ponto desse conjunto (isso dá várias propriedades fortes, inclusive existência de primitiva local).
    • Se existe uma primitiva F de f em toda a região interior+contorno, então \oint_C f(z)\,dz=0 porque a integral de uma derivada ao longo de um circuito fechado é zero (análogo ao cálculo real).
  • Quando a função tem uma singularidade isolada dentro de C, não podemos aplicar direto o teorema de Cauchy para dizer que a integral é zero. Nesse caso, podemos reduzir o cálculo a uma integral em um círculo pequeno ao redor da singularidade (porque podemos deformar a curva C até esse círculo sem atravessar a singularidade) e computar explicitamente. Para a função 1/(z-z_{0}) a singularidade em z_{0} é simples e a integral ao redor dela dá 2\pi i (orientação positiva).
Vou aplicar essas ideias para cada caso.

Passo 3

Caso 1: z_{0} está no exterior de C.
Raciocínio passo a passo:
  • Considere a região interior limitada por C. Como C é um laço simples fechado, essa região é simplesmente conexa (teorema do Jordan).
  • Se z_{0} está no exterior, então a função f(z)=\frac{1}{z-z_{0}}é holomorfa em todo o interior da curva C e também em uma vizinhança que contém C (porque o único problema seria em z=z_{0}, que está fora).
  • Pelo teorema de Cauchy (ou pelo fato de existir uma primitiva em uma região simplesmente conexa onde f é holomorfa), concluímos que \oint_{C}\frac{1}{z-z_{0}}\,dz = 0.
Comentário prático: aqui não precisamos construir explicitamente a primitiva; basta usar que não há singularidade dentro, logo integral é zero.

Passo 4

Caso 2: z_{0} está no interior de C.
Raciocínio passo a passo:
  • Agora f(z)=1/(z-z_{0}) tem uma singularidade simples em z=z_{0} que está dentro da região limitada por C. Não podemos aplicar diretamente o teorema de Cauchy para dizer que a integral é zero.
  • Entretanto, como f é holomorfa em todo o anel entre C e um pequeno círculo centrado em z_{0} (isto é, no domínio obtido retirando z_{0}), podemos deformar C continuamente até um pequeno círculo C_r de raio r>0 centrado em z_{0} sem cruzar a singularidade. A integral não muda sob essa deformação porque a diferença dos dois caminhos é o contorno de uma região onde f é holomorfa. Portanto \oint_{C}\frac{1}{z-z_{0}}\,dz \;=\; \oint_{C_r}\frac{1}{z-z_{0}}\,dz.
  • Assim basta calcular a integral em C_r, que é um círculo centrado em z_{0} percorrido no sentido anti-horário.

Passo 5

Cálculo explícito na parametrização do círculo pequeno.
Escolha do parâmetro:
  • Parametrize o círculo C_r centrado em z_{0} e raio r>0 por z(t)=z_{0}+r e^{it},\qquad t\in[0,2\pi],que percorre o círculo no sentido anti-horário (sentido positivo). Então dz = \frac{d}{dt}z(t)\,dt = i r e^{it}\,dt.
Substituição na integral:
  • Substituindo em \displaystyle \oint_{C_r}\frac{1}{z-z_{0}}\,dz obtemos \oint_{C_r}\frac{1}{z-z_{0}}\,dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{z(t)-z_{0}}\,z'(t)\,dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{r e^{it}} \cdot i r e^{it}\,dt.
  • Simplificando a expressão dentro da integral: \frac{1}{r e^{it}} \cdot i r e^{it} = i.
  • Portanto \oint_{C_r}\frac{1}{z-z_{0}}\,dz = \int_{0}^{2\pi} i\,dt = i\bigl[ t\bigr]_{0}^{2\pi} = 2\pi i.

Passo 6

Interpretação final e observações.
  • Concluímos que, quando z_{0} está dentro do caminho C (interior), a integral é 2\pi i.
  • Quando z_{0} está fora do caminho C (exterior), a integral é 0.
  • Observação sobre orientação: usamos que C foi percorrido no sentido anti-horário (positivo). Se o caminho fosse percorrido no sentido horário (negativo), o resultado teria sinal trocado: -2\pi i no caso interior.

Resposta

Se \;z_{0} está no interior de C: \;2\pi i
Se \;z_{0} está no exterior de C: \;0

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