Calcule
, onde
é um caminho simples, fechado, percorrido uma única vez no sentido anti-horário, que não passa por
e
é uma constante complexa. Sugestão: Considere separadamente os casos em que
está no interior e no exterior do caminho
.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral de linha complexa
onde
é um caminho simples, fechado, percorrido uma única vez no sentido anti-horário (sentido positivo), que não passa por
. O enunciado sugere considerar separadamente os casos em que
está no interior de
e no exterior de
.
Informações dadas e esclarecimentos importantes:
-
é um laço simples fechado e orientado no sentido anti-horário. -
não passa por . - Devemos avaliar a integral quando
está dentro da região limitada por (interior) e quando está fora dessa região (exterior).
Passo 2
Ideia geral que vamos usar (explicação didática):
- Em integração complexa, se a função integranda é holomorfa (analítica) numa vizinhança aberta que contém o interior de
e o próprio , então a integral ao redor de é zero (teorema de Cauchy). Vou explicar em miúdos: - Uma função
é holomorfa num conjunto quando é diferenciável em cada ponto desse conjunto (isso dá várias propriedades fortes, inclusive existência de primitiva local). - Se existe uma primitiva
de em toda a região interior+contorno, então porque a integral de uma derivada ao longo de um circuito fechado é zero (análogo ao cálculo real).
- Uma função
- Quando a função tem uma singularidade isolada dentro de
, não podemos aplicar direto o teorema de Cauchy para dizer que a integral é zero. Nesse caso, podemos reduzir o cálculo a uma integral em um círculo pequeno ao redor da singularidade (porque podemos deformar a curva até esse círculo sem atravessar a singularidade) e computar explicitamente. Para a função a singularidade em é simples e a integral ao redor dela dá (orientação positiva).
Vou aplicar essas ideias para cada caso.
Passo 3
Caso 1:
está no exterior de
.
Raciocínio passo a passo:
- Considere a região interior limitada por
. Como é um laço simples fechado, essa região é simplesmente conexa (teorema do Jordan). - Se
está no exterior, então a função é holomorfa em todo o interior da curva e também em uma vizinhança que contém (porque o único problema seria em , que está fora). - Pelo teorema de Cauchy (ou pelo fato de existir uma primitiva em uma região simplesmente conexa onde
é holomorfa), concluímos que
Comentário prático: aqui não precisamos construir explicitamente a primitiva; basta usar que não há singularidade dentro, logo integral é zero.
Passo 4
Caso 2:
está no interior de
.
Raciocínio passo a passo:
- Agora
tem uma singularidade simples em que está dentro da região limitada por . Não podemos aplicar diretamente o teorema de Cauchy para dizer que a integral é zero. - Entretanto, como
é holomorfa em todo o anel entre e um pequeno círculo centrado em (isto é, no domínio obtido retirando ), podemos deformar continuamente até um pequeno círculo de raio centrado em sem cruzar a singularidade. A integral não muda sob essa deformação porque a diferença dos dois caminhos é o contorno de uma região onde é holomorfa. Portanto - Assim basta calcular a integral em
, que é um círculo centrado em percorrido no sentido anti-horário.
Passo 5
Cálculo explícito na parametrização do círculo pequeno.
Escolha do parâmetro:
- Parametrize o círculo
centrado em e raio por que percorre o círculo no sentido anti-horário (sentido positivo). Então
Substituição na integral:
- Substituindo em
obtemos - Simplificando a expressão dentro da integral:
- Portanto
Passo 6
Interpretação final e observações.
- Concluímos que, quando
está dentro do caminho (interior), a integral é . - Quando
está fora do caminho (exterior), a integral é . - Observação sobre orientação: usamos que
foi percorrido no sentido anti-horário (positivo). Se o caminho fosse percorrido no sentido horário (negativo), o resultado teria sinal trocado: no caso interior.
Resposta
Se
está no interior de
:
Se está no exterior de
:
Se