Mostre que \oint_{|z|=1} \frac{d z}{z^{2}+2 z}=0. Sugestão: Use decomposição em frações parciais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{|z|=1} \frac{dz}{z^{2}+2z}
e (segundo o enunciado) mostrar que esse valor é 0. As informações relevantes que temos são: a função integranda pode ser escrita como
\frac{1}{z^{2}+2z}=\frac{1}{z(z+2)},
portanto os pontos singulares (zeros do denominador) são z=0 e z=-2. Observação importante sobre esses pontos: |0|=0<1, então z=0 está no interior do círculo |z|=1; |-2|=2>1, então z=-2 está fora do círculo |z|=1. A sugestão dada é usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Vamos decompor a função em frações parciais. Procuramos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{1}{z(z+2)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z+2}.
Multiplicando ambos os lados por z(z+2) obtemos
1 = A(z+2)+Bz = (A+B)z + 2A.
Igualando coeficientes do polinómio em z resulta o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 2A=1. \end{cases}
Da segunda equação vem A=\tfrac{1}{2}\]. Da primeira vem \(B=-A=-\tfrac{1}{2}. Portanto a decomposição é
\frac{1}{z(z+2)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{z}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{z+2}.]

Passo 3

Usando linearidade da integral de contorno, escrevemos
\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^{2}+2z} =\frac{1}{2}\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z}-\frac{1}{2}\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z+2}.
Agora avaliaremos separadamente as duas integrais à direita.

Passo 4

Avaliação de \displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{dz}{z}. Uma forma direta de ver o valor é parametrizar a circunferência unitária por z(t)=e^{it}, t\in[0,2\pi]. Então dz=i e^{it}\,dt e
\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z}=\int_{0}^{2\pi}\frac{i e^{it}\,dt}{e^{it}}=i\int_{0}^{2\pi}dt=2\pi i.
Esse é um resultado padrão: a integral de 1/z ao longo do círculo unitário (orientado positivamente) vale 2\pi i.

Passo 5

Avaliação de \displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{dz}{z+2}. Note que a função g(z)=\frac{1}{z+2} é holomorfa (analítica) em todo o disco fechado \{z:|z|\le1\}, porque o único ponto onde teria singularidade é z=-2, que fica fora do disco (como observado no Passo 1). Pelo Teorema de Cauchy (a integral de uma função holomorfa em um contorno fechado é 0) obtemos
\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z+2}=0.
(Se preferir, poderia também justificar por existência de primitiva: g(z) tem primitiva \log(z+2) em um domínio que contém o disco |z|\le1, logo a integral fechada é zero.)

Passo 6

Combinar os resultados dos passos anteriores:
\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^{2}+2z} =\frac{1}{2}\cdot(2\pi i)-\frac{1}{2}\cdot 0=\pi i.
Portanto o valor da integral é \pi i. Note que isso difere do enunciado que pedia mostrar 0; o cálculo acima é direto e mostra que o valor correto é \pi i.

Resposta

\pi i

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