Mostre que
. Sugestão: Use decomposição em frações parciais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
e (segundo o enunciado) mostrar que esse valor é
. As informações relevantes que temos são: a função integranda pode ser escrita como
portanto os pontos singulares (zeros do denominador) são
e
. Observação importante sobre esses pontos:
, então
está no interior do círculo
;
, então
está fora do círculo
. A sugestão dada é usar decomposição em frações parciais.
Passo 2
Vamos decompor a função em frações parciais. Procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Igualando coeficientes do polinómio em
resulta o sistema
Da segunda equação vem
. Portanto a decomposição é
Passo 3
Usando linearidade da integral de contorno, escrevemos
Agora avaliaremos separadamente as duas integrais à direita.
Passo 4
Avaliação de
. Uma forma direta de ver o valor é parametrizar a circunferência unitária por
,
. Então
e
Esse é um resultado padrão: a integral de
ao longo do círculo unitário (orientado positivamente) vale
.
Passo 5
Avaliação de
. Note que a função
é holomorfa (analítica) em todo o disco fechado
, porque o único ponto onde teria singularidade é
, que fica fora do disco (como observado no Passo 1). Pelo Teorema de Cauchy (a integral de uma função holomorfa em um contorno fechado é
) obtemos
(Se preferir, poderia também justificar por existência de primitiva:
tem primitiva
em um domínio que contém o disco
, logo a integral fechada é zero.)
Passo 6
Combinar os resultados dos passos anteriores:
Portanto o valor da integral é
. Note que isso difere do enunciado que pedia mostrar
; o cálculo acima é direto e mostra que o valor correto é
.