Sabe-se que dois pontos A e B estão separados em 10 unidades. Um vetor da origem ao ponto A é dado por 6 \mathbf{a}_{x}-2 \mathbf{a}_{y}-4 \mathbf{a}_{z}, e o vetor unitário da origem ao ponto B é (2,-2,1) / 3. Ache:
(b) um vetor unitário dirigido de A para B ;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • A distância entre os pontos A e B é 10.
  • O vetor posição do ponto A (vetor da origem para A) é \mathbf{r}_A = 6\mathbf{a}_x - 2\mathbf{a}_y - 4\mathbf{a}_z.
  • O vetor unitário (direção) da origem para B é \dfrac{(2,-2,1)}{3}. Vou chamar esse vetor unitário de \mathbf{u}_B.
  • O que se pede: um vetor unitário dirigido de A para B, isto é o vetor unitário na direção \overrightarrow{AB}.

Passo 2

Entendendo o que falta e a estratégia (sem resolver ainda): como só sabemos a direção de \overrightarrow{OB} (vetor unitário \mathbf{u}_B), o vetor posição \mathbf{r}_B tem a forma
\mathbf{r}_B = s\,\mathbf{u}_B,
onde s é a distância |\overrightarrow{OB}| (um escalar desconhecido e positivo). O vetor de A para B é
\overrightarrow{AB}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A = s\,\mathbf{u}_B-\mathbf{r}_A.
Como sabemos que |\overrightarrow{AB}|=10, isso fornece uma equação para determinar s. Depois, o vetor unitário dirigido de A para B é
\mathbf{\hat{u}}_{AB}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{\overrightarrow{AB}}{10}.
Ou seja, basta achar s, calcular \overrightarrow{AB} e dividir por 10.

Passo 3

Vou escrever em componentes os vetores que conhecemos:
\mathbf{r}_A=(6,-2,-4), \qquad \mathbf{u}_B=\frac{(2,-2,1)}{3}=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right),
e colocar \mathbf{r}_B=s\,\mathbf{u}_B=\left(\frac{2s}{3},-\frac{2s}{3},\frac{s}{3}\right).
Então
\overrightarrow{AB}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A =\left(\frac{2s}{3}-6,\; -\frac{2s}{3}+2,\; \frac{s}{3}+4\right).

Passo 4

Agora imposto a condição |\overrightarrow{AB}|=10. Primeiro escrevo o quadrado da norma (para evitar raízes):
|\overrightarrow{AB}|^2=\left(\frac{2s}{3}-6\right)^2+\left(-\frac{2s}{3}+2\right)^2+\left(\frac{s}{3}+4\right)^2.
Como |\overrightarrow{AB}|=10, vale
\left(\frac{2s}{3}-6\right)^2+\left(-\frac{2s}{3}+2\right)^2+\left(\frac{s}{3}+4\right)^2=100.

Passo 5

Para simplificar a conta, defino t=\dfrac{s}{3}. Então as componentes ficam 2t-6,\; -2t+2,\; t+4. Somando os quadrados:
(2t-6)^2+(-2t+2)^2+(t+4)^2.
Faço a expansão termo a termo:
(2t-6)^2=4t^2-24t+36,
(-2t+2)^2=4t^2-8t+4,
(t+4)^2=t^2+8t+16.
Somando:
4t^2-24t+36 + 4t^2-8t+4 + t^2+8t+16 = 9t^2 -24t +56.
Lembrando t=\dfrac{s}{3}, substituo 9t^2 = s^2 e -24t = -8s. Assim a equação =100 vira
s^2 -8s +56 = 100.
Coloco em forma padrão:
s^2 -8s -44 = 0.

Passo 6

Resolvo a quadrática \;s^2-8s-44=0. O discriminante é
\Delta = (-8)^2 -4\cdot1\cdot(-44)=64+176=240.
Assim
s=\frac{8\pm\sqrt{240}}{2}=\frac{8\pm 4\sqrt{15}}{2}=4\pm 2\sqrt{15}.
Como s=\lvert\overrightarrow{OB}\rvert deve ser positivo, tomo
s=4+2\sqrt{15}.

Passo 7

Com s encontrado, calculo \overrightarrow{AB}=s\,\mathbf{u}_B-\mathbf{r}_A. Primeiro escrevo as componentes com s:
\overrightarrow{AB}=\left(\frac{2s}{3}-6,\; -\frac{2s}{3}+2,\; \frac{s}{3}+4\right).
Substituindo s=4+2\sqrt{15} e simplificando cada componente:
  • Componente x:
\frac{2s}{3}-6=\frac{2(4+2\sqrt{15})}{3}-6=\frac{8+4\sqrt{15}-18}{3}=\frac{-10+4\sqrt{15}}{3}.
  • Componente y:
-\frac{2s}{3}+2=\frac{-2(4+2\sqrt{15})+6}{3}=\frac{-8-4\sqrt{15}+6}{3}=\frac{-2-4\sqrt{15}}{3}.
  • Componente z:
\frac{s}{3}+4=\frac{4+2\sqrt{15}}{3}+4=\frac{4+2\sqrt{15}+12}{3}=\frac{16+2\sqrt{15}}{3}.
Portanto
\overrightarrow{AB}=\left(\frac{-10+4\sqrt{15}}{3},\;\frac{-2-4\sqrt{15}}{3},\;\frac{16+2\sqrt{15}}{3}\right).

Passo 8

O vetor unitário de A para B é \mathbf{\hat{u}}_{AB}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{10}. Dividindo as componentes por 10 e simplificando (fatorando 2 quando conveniente) obtenho
\mathbf{\hat{u}}_{AB}=\left(\frac{-10+4\sqrt{15}}{30},\;\frac{-2-4\sqrt{15}}{30},\;\frac{16+2\sqrt{15}}{30}\right).
Essa expressão pode ser simplificada fatorando 2 nos numeradores:
\mathbf{\hat{u}}_{AB}=\left(\frac{-5+2\sqrt{15}}{15},\;-\frac{1+2\sqrt{15}}{15},\;\frac{8+\sqrt{15}}{15}\right).
Finalmente escrevo o vetor unitário em relação aos vetores base \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z:
\mathbf{\hat{u}}_{AB}=\frac{-5+2\sqrt{15}}{15}\,\mathbf{a}_x -\frac{1+2\sqrt{15}}{15}\,\mathbf{a}_y +\frac{8+\sqrt{15}}{15}\,\mathbf{a}_z.

Resposta

\displaystyle \mathbf{\hat{u}}_{AB}=\frac{-5+2\sqrt{15}}{15}\,\mathbf{a}_x-\frac{1+2\sqrt{15}}{15}\,\mathbf{a}_y+\frac{8+\sqrt{15}}{15}\,\mathbf{a}_z

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