Calcule
para a seguinte função e contorno:
, ao longo do círculo de raio 2 centrado na origem;
Passo 1
Resumo do Enunciado e Materia Envolvida
Estamos aqui para calcular a integral de contorno da função $ f(z) = \frac{z^{99} \exp\left(\frac{1}{z}\right)}{z^{100} + 1} $ ao longo do círculo de raio 2 centrado na origem. O conteúdo que vamos utilizar para resolver isso é o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais complexas identificando os resíduos das funções nos seus polos dentro do contorno dado.
Passo 2
Identificando os Polos da Função
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde a função $ f(z) $ tem singularidades, ou seja, onde o denominador é zero. Isso acontece quando:
As soluções dessa equação são as 100 raízes 100ª de
, que podem ser expressas como:
Cada $ z_k $ está localizado no círculo unitário
.
Passo 3
Verificando quais Polos estão Dentro do Contorno
Nosso contorno é o círculo de raio 2, ou seja,
. Como todas as 100 raízes $ z_k $ estão no círculo unitário
, todos esses polos estão dentro do nosso contorno de integração.
Passo 4
Aplicando o Teorema dos Resíduos
O Teorema dos Resíduos diz que a integral de contorno de uma função ao longo de um caminho fechado é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos da função nos polos dentro desse contorno. Assim, temos:
Passo 5
Calculando os Resíduos nos Polos $ z_k $
Como cada polo $ z_k $ é simples (ou seja, tem ordem 1), o resíduo de $ f(z) $ em $ z_k $ é dado por:
Portanto, a soma dos resíduos é:
Passo 6
Observando a Soma dos Resíduos
Perceba que as raízes $ z_k $ são distribuídas uniformemente no círculo unitário. Quando somamos $ \exp\left(\frac{1}{z_k}\right) $ para todas as 100 raízes, devido à simetria, essas contribuições se cancelam mutuamente.
Resposta
A integral $ \oint f(z) , dz $ é igual a 0.