Encontre a série de Laurent para a seguinte função ao redor da origem e indique os intervalos de validade:
f(z)=1z(z-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Laurent da função $ f(z) = \frac{1}{z(z-1)} $ ao redor da origem e indicar os intervalos de validade dessa série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de Laurent, que são úteis para representar funções complexas em torno de pontos singulares. Precisamos identificar onde a função tem singularidades e escolher a forma adequada da série de Laurent para cada intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as singularidades da função $ f(z) = \frac{1}{z(z-1)} $. As singularidades ocorrem quando o denominador é zero, ou seja, em $ z = 0 $ e $ z = 1 f(z) = 1z(z-1) z = 0 $), precisamos considerar o comportamento da função em relação a essas singularidades.

Passo 3

Para construir a série de Laurent, vamos expressar $ f(z) $ de uma forma que facilite a expansão. Podemos reescrever a função da seguinte maneira:
f(z)
Agora, vamos manipular a segunda fração para prepará-la para a expansão em série.

Passo 4

Vamos reescrever $ \frac{1}{z-1} $ de forma a aplicar a série geométrica. Observamos que:
1z-1
Agora, a expressão fica:
1z-1 = -11 - z
A série geométrica para $ \frac{1}{1 - w} $ é válida quando ( |w| < 1 \ ) e é dada por:
f(z) = -1z cdot 11 - z
Nesse caso, $ w = z $, então a série será válida quando $ |z| < 1 $.

Passo 5

Aplicando a série geométrica, temos:
11 - z = sumn=0^infty z^n para |z| < 1
Substituindo de volta na expressão de $ f(z) $:
f(z)
Podemos reescrever isso como:
f(z) = -1z cdot sumn=0^infty z^n = -sumn=0^infty z^n-1
Esta é a série de Laurent de $ f(z) $ em torno de $ z = 0 $ válida para $ |z| < 1 $.

Passo 6

Agora, precisamos considerar outra região onde a série de Laurent pode ser válida. Observando que a outra singularidade é em $ z = 1 $, podemos expandir a função para $ |z| > 1 $.
Vamos reescrever $ \frac{1}{z-1} $ de forma diferente:
z = 1
Agora, aplicamos a série geométrica para $ \frac{1}{1 - w} $, onde $ w = \frac{1}{z} $. A série será válida quando $ \left| \frac{1}{z} \right| < 1 $, ou seja, $ |z| > 1 $.

Passo 7

Aplicando a série geométrica:
11 - 1z = sumn=0^infty ( 1z )^n = sumn=0^infty z^-n
Substituindo de volta na expressão de $ f(z) $:
f(z)
Esta é a série de Laurent de $ f(z) $ em torno de $ z = 0 $ válida para $ |z| > 1 $.

Resposta

A série de Laurent para $ f(z) = \frac{1}{z(z-1)} $ ao redor da origem é:
  • Para $ |z| < 1 $:
f(z) = 1z(z-1)
  • Para $ |z| > 1 $:
|z| < 1
Essas séries são válidas nos intervalos indicados, ou seja, dentro do círculo de raio 1 e fora dele, respectivamente.

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