Seja
um campo vetorial em
. Calcule a integral de linha do campo
ao longo das curvas
e
, orientadas no sentido horário, onde:
é a fronteira do retângulo
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial definido por:
Nosso objetivo é calcular a integral de linha desse campo ao longo das curvas
e
, ambas orientadas no sentido horário. Especificamente,
é a fronteira do retângulo
dado por
e
.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pelas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se a sua integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido. Uma condição necessária para isso é que as derivadas parciais das componentes do campo satisfaçam:
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.
Passo 3
As componentes do campo são:
Calculando
:
Agora, calculando
:
Comparando as duas:
Vemos que
devido ao termo adicional
. Portanto, o campo
não é conservativo.
Passo 4
Como o campo não é conservativo, não podemos usar a propriedade de que a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final. Em vez disso, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos permite relacionar a integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
O Teorema de Green diz:
Onde:
-
é a curva fechada (no nosso caso, ) -
é a região delimitada por
Mas atenção! O Teorema de Green assume que a curva
está orientada no sentido anti-horário. No nosso problema, as curvas estão orientadas no sentido horário, então teremos que considerar esse fator na aplicação do teorema.
Passo 5
Vamos aplicar o Teorema de Green para a curva
:
O sinal negativo aparece porque a orientação da curva é horária, o oposto da orientação anti-horária assumida pelo teorema.
Já calculamos anteriormente que:
Portanto, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos calcular a área do retângulo
:
Então:
Levando em conta a orientação horária, a integral de linha é:
Resposta
A integral de linha do campo
ao longo da curva
, orientada no sentido horário, é
.