Seja F(x, y)=lang<=-yx^2+y^2, xx^2+y^2+3 xrang<= um campo vetorial em R^2. Calcule a integral de linha do campo F ao longo das curvas C1 e C2, orientadas no sentido horário, onde:
C2 é a fronteira do retângulo R=(x, y) in R^2 /-pi <= x <= pi,-3 <= y <= 3.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial definido por:
F(x, y) = lang<= -yx^2+y^2, xx^2+y^2 + 3x rang<=
Nosso objetivo é calcular a integral de linha desse campo ao longo das curvas e , ambas orientadas no sentido horário. Especificamente, é a fronteira do retângulo dado por e .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pelas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar se o campo vetorial partial Fypartial x = partial Fxpartial y é conservativo. Um campo é conservativo se a sua integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido. Uma condição necessária para isso é que as derivadas parciais das componentes do campo satisfaçam:
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.

Passo 3

As componentes do campo são:
Fx = -yx^2+y^2 Fy = xx^2+y^2 + 3x
Calculando partial Fypartial x = partialpartial x ( xx^2+y^2 + 3x ) = (x^2+y^2) - x(2x)(x^2+y^2)^2 + 3 = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2 + 3 :
partial Fxpartial y = partialpartial y ( -yx^2+y^2 ) = -(x^2+y^2) - (-y)(2y)(x^2+y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2(x^2+y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2
Agora, calculando partial Fypartial x = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2 + 3 partial Fxpartial y = -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2 :
Comparando as duas:
Vemos que devido ao termo adicional . Portanto, o campo não é conservativo.

Passo 4

Como o campo não é conservativo, não podemos usar a propriedade de que a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final. Em vez disso, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos permite relacionar a integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
O Teorema de Green diz:
ointC F cdot dr = integral duplaR ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) dA
Onde:
  • é a curva fechada (no nosso caso, )
  • é a região delimitada por
Mas atenção! O Teorema de Green assume que a curva está orientada no sentido anti-horário. No nosso problema, as curvas estão orientadas no sentido horário, então teremos que considerar esse fator na aplicação do teorema.

Passo 5

Vamos aplicar o Teorema de Green para a curva ointC2 F cdot dr = - integral duplaR ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) dA :
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 3
O sinal negativo aparece porque a orientação da curva é horária, o oposto da orientação anti-horária assumida pelo teorema.
Já calculamos anteriormente que:
integral duplaR 3 , dA = 3 cdot área de R
Portanto, a integral dupla fica:
á

Passo 6

Vamos calcular a área do retângulo Área de R = (xmax - xmin) times (ymax - ymin) = (pi - (-pi)) times (3 - (-3)) = 2pi times 6 = 12pi :
integral duplaR 3 , dA = 3 times 12pi = 36pi Á
Então:
ointC2 F cdot dr = -36pi
Levando em conta a orientação horária, a integral de linha é:

Resposta

A integral de linha do campo ao longo da curva , orientada no sentido horário, é .

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