Calcule ointc e^i zz^2(z^2+4) d z, onde C:|z-2 i|=52.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de contorno:
ointC e^i zz^2(z^2+4) , dz,
onde $ C $ é o círculo definido por $ |z - 2i| = \frac{5}{2} $.
Matéria envolvida: Análise Complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados.
O que vamos precisar: Identificar os pontos onde a função tem singularidades (pontos problemáticos), verificar quais desses pontos estão dentro do contorno $ C $ e calcular os resíduos nesses pontos para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as singularidades da função integranda:
f(z) = e^i zz^2(z^2+4)
As singularidades ocorrem onde o denominador é zero:
z^2(z^2+4) = 0 Rightarrow z^2 = 0 ou z^2 = -4
Resolvendo:
  • $ z^2 = 0 \Rightarrow z = 0 $ (singularidade de ordem 2).
  • $ z^2 = -4 \Rightarrow z = 2i $ e $ z = -2i $ (ambas singularidades simples).
Então, as singularidades são em $ z = 0 $, $ z = 2i $ e $ z = -2i $.

Passo 3

Agora, precisamos determinar quais dessas singularidades estão dentro do contorno $ C $, que é o círculo $ |z - 2i| = \frac{5}{2} $.
Vamos calcular a distância de cada singularidade até o centro do círculo $ 2i $:
  1. Para $ z = 0 $: C
  2. Para $ z = 2i $: |z - 2i| = 52
  3. Para $ z = -2i $: 2i
O raio do círculo é $ \frac{5}{2} = 2,5 $.
Comparando as distâncias:
  • $ z = 0 $: 2 < 2,5 → dentro do círculo.
  • $ z = 2i $: 0 < 2,5 → dentro do círculo.
  • $ z = -2i $: 4 > 2,5 → fora do círculo.
Portanto, as singularidades dentro de $ C $ são $ z = 0 $ e $ z = 2i $.

Passo 4

Agora, vamos calcular os resíduos da função $ f(z) $ em cada uma dessas singularidades dentro de $ C $:

Resíduo em $ z = 0 $:

Como $ z = 0 $ é uma singularidade de ordem 2, usamos a fórmula do resíduo para polos de ordem 2:
f(z)
Calculando:
C
Derivando em relação a $ z $:
z = 0
Agora, avaliamos no limite $ z \to 0 $:
z = 0

Resíduo em $ z = 2i $:

$ z = 2i $ é uma singularidade simples, então usamos a fórmula do resíduo para polos simples:
Res(f, 0) = limz to 0 ddz[(z - 0)^2 f(z)]
Calculando:
(z)^2 f(z) = e^i zz^2(z^2+4) cdot z^2 = e^i zz^2 + 4
Avaliando no limite $ z \to 2i $:
z

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral de contorno é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos dentro do contorno:
2pi i
Substituindo os resíduos que calculamos:
ointC f(z) , dz = 2pi i ( Res(f, 0) + Res(f, 2i) )
Vamos simplificar isso:
ointC f(z) , dz = 2pi i ( i4 - e^-216i )
= 2pi i cdot i4 - 2pi i cdot e^-216i
= 2pi cdot i^24 - 2pi cdot e^-216
= 2pi cdot ( -14 ) - 2pi e^-216
= -pi2 - pi e^-28

Resposta

A integral vale:
ointC e^i zz^2(z^2+4) , dz = -pi ( 12 + e^-28 )

Exercícios relacionados