Calcule
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de contorno:
onde $ C $ é o círculo definido por $ |z - 2i| = \frac{5}{2} $.
Matéria envolvida: Análise Complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados.
O que vamos precisar: Identificar os pontos onde a função tem singularidades (pontos problemáticos), verificar quais desses pontos estão dentro do contorno $ C $ e calcular os resíduos nesses pontos para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as singularidades da função integranda:
As singularidades ocorrem onde o denominador é zero:
Resolvendo:
- $ z^2 = 0 \Rightarrow z = 0 $ (singularidade de ordem 2).
- $ z^2 = -4 \Rightarrow z = 2i $ e $ z = -2i $ (ambas singularidades simples).
Então, as singularidades são em $ z = 0 $, $ z = 2i $ e $ z = -2i $.
Passo 3
Agora, precisamos determinar quais dessas singularidades estão dentro do contorno $ C $, que é o círculo $ |z - 2i| = \frac{5}{2} $.
Vamos calcular a distância de cada singularidade até o centro do círculo $ 2i $:
- Para $ z = 0 $:
- Para $ z = 2i $:
- Para $ z = -2i $:
O raio do círculo é $ \frac{5}{2} = 2,5 $.
Comparando as distâncias:
- $ z = 0 $: 2 < 2,5 → dentro do círculo.
- $ z = 2i $: 0 < 2,5 → dentro do círculo.
- $ z = -2i $: 4 > 2,5 → fora do círculo.
Portanto, as singularidades dentro de $ C $ são $ z = 0 $ e $ z = 2i $.
Passo 4
Agora, vamos calcular os resíduos da função $ f(z) $ em cada uma dessas singularidades dentro de $ C $:
Resíduo em $ z = 0 $:
Como $ z = 0 $ é uma singularidade de ordem 2, usamos a fórmula do resíduo para polos de ordem 2:
Calculando:
Derivando em relação a $ z $:
Agora, avaliamos no limite $ z \to 0 $:
Resíduo em $ z = 2i $:
$ z = 2i $ é uma singularidade simples, então usamos a fórmula do resíduo para polos simples:
Calculando:
Avaliando no limite $ z \to 2i $:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral de contorno é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos dentro do contorno:
Substituindo os resíduos que calculamos:
Vamos simplificar isso:
Resposta
A integral vale: