Determine o domínio de convergência da série
sum1 (z-2 i)^n3^n(n+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série matemática e precisamos descobrir para quais valores de $ z $ essa série “funciona”, ou seja, para quais $ z $ ela converge. O conteúdo principal aqui é o teste de convergência de séries, especialmente séries de potências. Vamos precisar usar critérios como o raio de convergência e possivelmente o teste da raiz ou teste da razão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que estamos analisando:
sumn=1^infty (z - 2i)^n3^n(n+1)^2
Essa é uma série de potências na forma geral:
sumn=0^infty an (z - z0)^n
Onde $ z_0 $ é o centro da série e $ a_n $ são os coeficientes.

Passo 3

No nosso caso, o centro $ z_0 $ é $ 2i $, e os coeficientes $ a_n $ são $ \frac{1}{3{n}(n+1){2}} $.
Para encontrar o domínio de convergência, que é o conjunto de $ z $ para os quais a série converge, precisamos encontrar o raio de convergência $ R $.

Passo 4

Vamos usar o Teste da Razão, que é útil para encontrar o raio de convergência. Este teste diz que:
1R = limn to infty | an+1an |
Vamos calcular esse limite para nossos $ a_n $:
an
an = 13^n(n+1)^2
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite conforme $ n $ tende ao infinito:
n
Então,
limn to infty (n+1)^23(n+2)^2 = 13 cdot limn to infty ( n+1n+2 )^2 = 13 cdot 1 = 13

Passo 6

O raio de convergência $ R = 3 $ nos diz que a série converge quando:
R = 3
E diverge quando:
|z - 2i| < 3
Nos casos onde $ |z - 2i| = 3 $, precisamos analisar separadamente, mas para simplificar, o domínio de convergência principal é o círculo aberto de raio 3 centrado em $ 2i $.

Resposta

O domínio de convergência da série é o conjunto de todos os números complexos $ z $ tais que $ |z - 2i| < 3 $.

Exercícios relacionados