Determine o domínio de convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série matemática e precisamos descobrir para quais valores de $ z $ essa série “funciona”, ou seja, para quais $ z $ ela converge. O conteúdo principal aqui é o teste de convergência de séries, especialmente séries de potências. Vamos precisar usar critérios como o raio de convergência e possivelmente o teste da raiz ou teste da razão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série que estamos analisando:
Essa é uma série de potências na forma geral:
Onde $ z_0 $ é o centro da série e $ a_n $ são os coeficientes.
Passo 3
No nosso caso, o centro $ z_0 $ é $ 2i $, e os coeficientes $ a_n $ são $ \frac{1}{3{n}(n+1){2}} $.
Para encontrar o domínio de convergência, que é o conjunto de $ z $ para os quais a série converge, precisamos encontrar o raio de convergência $ R $.
Passo 4
Vamos usar o Teste da Razão, que é útil para encontrar o raio de convergência. Este teste diz que:
Vamos calcular esse limite para nossos $ a_n $:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite conforme $ n $ tende ao infinito:
Então,
Passo 6
O raio de convergência $ R = 3 $ nos diz que a série converge quando:
E diverge quando:
Nos casos onde $ |z - 2i| = 3 $, precisamos analisar separadamente, mas para simplificar, o domínio de convergência principal é o círculo aberto de raio 3 centrado em $ 2i $.
Resposta
O domínio de convergência da série é o conjunto de todos os números complexos $ z $ tais que $ |z - 2i| < 3 $.