Etude a notureza das series
sumx=2^infty 1x raizln x

Passo 1

O enunciado pede para estudar se a série sumx=2^infty1xraizln x converge ou diverge. O conteúdo principal é o teste da integral imprópria para séries, e vamos precisar verificar se a integral de uma função equivalente diverge ou converge.

Passo 2

Para aplicar o teste da integral, definimos a função f(x)=1xraizln x. Precisamos checar que f(x) seja positiva, contínua e decrescente em [2,infty). De fato, para x>2 temos ln x>0 e denominador positivo, e derivando vemos que f'(x)<0, então f é decrescente.

Passo 3

Segundo o teste da integral, a série sumx=2^inftyf(x) e a integral imprópria integral2^inftyf(x),dx têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou divergem). Vamos estudar a integral

Passo 4

Fazemos a mudança de variável u=ln x, então du=dxx. Quando x=2, u=ln2; quando xtoinfty, utoinfty. Assim

Passo 5

Sabemos que integralln2^inftyu^-1/2du=l[2raiz ur]ln2^infty=limbtoinfty2raiz b-2raizln2=infty Ou seja, a integral diverge.

Passo 6

Como a integral imprópria diverge, pelo teste da integral a série sumx=2^infty1xraizln x também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados