Etude a notureza das series
Passo 1
O enunciado pede para estudar se a série
converge ou diverge. O conteúdo principal é o teste da integral imprópria para séries, e vamos precisar verificar se a integral de uma função equivalente diverge ou converge.
Passo 2
Para aplicar o teste da integral, definimos a função
. Precisamos checar que
seja positiva, contínua e decrescente em
. De fato, para
temos
e denominador positivo, e derivando vemos que
, então
é decrescente.
Passo 3
Segundo o teste da integral, a série
e a integral imprópria
têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou divergem). Vamos estudar a integral
Passo 4
Fazemos a mudança de variável
, então
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Passo 5
Sabemos que
Ou seja, a integral diverge.
Passo 6
Como a integral imprópria diverge, pelo teste da integral a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.