Calcule ointC F cdot d r onde F é o campo vetorial F(x, y, z)=x^2 i+y^2 j+z^2 k e C é a borda do cone z=raizx^2+y^2 em z=1, orientada para cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada ointC Fcdot dr onde F(x,y,z)=x^2,vec i+y^2,vec j+z^2,vec k e C é a circunferência de raio 1 no plano z=1, orientada segundo a regra da mão direita com normal para cima. O conteúdo principal aqui é reconhecer campo conservativo e usar potencial escalar.

Passo 2

Para ver se F é conservativo, calculamos o rotacional: nablatimes F=l(partial z^2partial y-partial y^2partial z,;partial x^2partial z-partial z^2partial x,;partial y^2partial x-partial x^2partial yr)=(0,0,0)Como o rotacional é nulo num domínio simplesmente conexo ( R^3), F é conservativo.

Passo 3

Sendo F conservativo, existe potencial phi(x,y,z)=tfracx^33+tfracy^33+tfracz^33 tal que F=nablaphi. A integral de linha de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é zero. Portanto, ointC Fcdot dr=0.

Resposta

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