Utilize completamento de quadrados para encontrar as raízes reais (se existirem) e esboçar os gráficos das funções do segundo grau abaixo:
x^2-10 x+30

Passo 1

Resumo: temos a função quadrática f(x)=x^2-10x+30. O objetivo é usar o completamento de quadrados para achar as raízes reais (se existirem) e depois esboçar o gráfico. Vamos precisar lembrar como reescrever ax^2+bx+c na forma de quadrado perfeito.

Passo 2

Completar o quadrado: começamos com x^2-10x+30. Extraímos o termo que completa o quadrado em x^2-10x:
x^2-10x+30 = (x^2-10x+25)+30-25
Agrupando e simplificando obtemos a forma canônica:
(x-5)^2+5

Passo 3

Encontrar as raízes reais: igualamos a zero:
(x-5)^2+5=0
Logo:
(x-5)^2=-5
Mas o quadrado de um número real nunca é negativo, então não há soluções reais para f(x)=0.

Passo 4

Determinar vértice, concavidade e intercepto em y:
O vértice vem da forma (x-5)^2+5, que indica vértice em (5,5). Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima. O intercepto em y ocorre em x=0:
f(0)=0^2-10,0+30=30

Passo 5

Esboço do gráfico: descrevemos uma parábola sem raízes reais, abrindo para cima, com vértice em (5,5) e intercepto em y no ponto (0,30). A reta de simetria é x=5.

Resposta

Não existem raízes reais. O gráfico é uma parábola que abre para cima, com vértice em (5,5), intercepto em y em (0,30) e sem interseções com o eixo x.

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