Sejag(x)=integral sex(x) / x d x
(por rigor, definimos o integrado como 1 quando x=0 )
Use o POLINOMIO de TAYLOR de sen(x) para escrever a expressão para g(x) (se tiver dificuldades para termo geral, escreva o Polinômio até a ordem 5.)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício que você me passou pede para encontrar uma expressão para $ g(x) $ usando o Polinômio de Taylor da função seno, que é $ \sin(x) $. Basicamente, a gente precisa integrar $ \frac{\sin(x)}{x} $ em relação a $ x $, e para isso vamos usar a expansão de Taylor do seno. Vamos dividir isso em passos para facilitar a compreensão!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Polinômio de Taylor. É uma maneira de aproximar funções usando uma série de termos polinomiais. Para a função $ \sin(x) $, o polinômio de Taylor em torno de 0 (também chamado de série de Maclaurin) é:
sin(x)
Mas como queremos até a ordem 5, vamos parar por aqui:
sin(x) = x - x^33! + x^55! - x^77! + dots

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão que queremos integrar. Ou seja, vamos dividir cada termo por $ x $:
x

Passo 4

A seguir, vamos integrar cada termo da expressão resultante:
g(x) = integral (1 - x^26 + x^4120) dx
Integrando termo a termo:
integral 1 , dx = x
integral (-x^26) dx = -x^318
integral x^4120 , dx = x^5600

Passo 5

Juntando tudo, temos:
g(x) = x - x^318 + x^5600 + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Mas o exercício menciona que $ g(0) = 1 $, então vamos usar isso para encontrar $ C $.

Passo 6

Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ g(x) $:
x = 0

Resposta

Portanto, a expressão para $ g(x) $ usando o Polinômio de Taylor de $ \sin(x) $ até a ordem 5 é:
g(x)

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