(por rigor, definimos o integrado como 1 quando
)
Use o POLINOMIO de TAYLOR de sen(x) para escrever a expressão para
(se tiver dificuldades para termo geral, escreva o Polinômio até a ordem 5.)
(por rigor, definimos o integrado como 1 quando
Use o POLINOMIO de TAYLOR de sen(x) para escrever a expressão para
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício que você me passou pede para encontrar uma expressão para $ g(x) $ usando o Polinômio de Taylor da função seno, que é $ \sin(x) $. Basicamente, a gente precisa integrar $ \frac{\sin(x)}{x} $ em relação a $ x $, e para isso vamos usar a expansão de Taylor do seno. Vamos dividir isso em passos para facilitar a compreensão!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Polinômio de Taylor. É uma maneira de aproximar funções usando uma série de termos polinomiais. Para a função $ \sin(x) $, o polinômio de Taylor em torno de 0 (também chamado de série de Maclaurin) é:
Mas como queremos até a ordem 5, vamos parar por aqui:
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação na expressão que queremos integrar. Ou seja, vamos dividir cada termo por $ x $:
Passo 4
A seguir, vamos integrar cada termo da expressão resultante:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Juntando tudo, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração. Mas o exercício menciona que $ g(0) = 1 $, então vamos usar isso para encontrar $ C $.
Passo 6
Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ g(x) $:
Resposta
Portanto, a expressão para $ g(x) $ usando o Polinômio de Taylor de $ \sin(x) $ até a ordem 5 é: