Utilize completamento de quadrados para encontrar as raízes reais (se existirem) e esboçar os gráficos das funções do segundo grau abaixo:
x^2+5 x+6

Passo 1

Vamos resolver a função quadrática f(x)=x²+5x+6 usando completamento de quadrados para achar as raízes e depois esboçar o gráfico.

Passo 2

Começamos escrevendo f(x) na forma canônica. Para isso, agrupamos x²+5x e completamos o quadrado:
x^2 + 5x + 6 = l(x^2 + 5x + 254r) + 6 - 254
Observe que adicionamos e subtraímos tfrac254 para formar um quadrado perfeito.
Agora escrevemos o quadrado perfeito e simplificamos o termo constante:
x^2 + 5x + 6 = l(x + tfrac52r)^2 + 6 - tfrac254 = l(x + tfrac52r)^2 - tfrac14

Passo 3

Para encontrar as raízes, igualamos f(x)=0:
l(x + tfrac52r)^2 - tfrac14 = 0 implies l(x + tfrac52r)^2 = tfrac14
Logo,
x + tfrac52 = pm tfrac12 implies x = -tfrac52 pm tfrac12
Isso dá as raízes x=-3 e x=-2.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, identificamos que é uma parábola voltada para cima (coeficiente de x² positivo). O vértice vem da forma canônica (x+5/2)^2 - 1/4, isto é, vértice em (-2,5, -0,25) e eixo de simetria em x=-2,5. Além disso, ela cruza o eixo y em f(0)=6 e o eixo x nas raízes -3 e -2.
No esboço, marcamos o vértice (-2,5, -0,25), os pontos de interseção (-3,0), (-2,0) e (0,6). Traçamos uma curva simétrica em relação a x=-2,5 que abre para cima.

Passo 5

Prontinho! Agora você vê as raízes, o vértice e como desenhar a parábola.

Resposta

As raízes reais são x = -3 e x = -2. O gráfico é uma parábola com vértice em (-2,5, -0,25), voltada para cima, que intercepta o eixo x em (-3, 0) e (-2, 0) e o eixo y em (0, 6).

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