Calcule ointC^+ F cdot d r para F(x, y)=(x^2, x+y) onde C é a fronteira do triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,1), orientada no sentido anti-horário.
=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral de linha ointC^+ F cdot d r, onde F(x, y) = (x^2, x+y). A curva C é a borda de um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1), orientada anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha a uma integral dupla sobre a região interior da curva. Então, precisamos conhecer cálculo vetorial básico e o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Onde F = (P, Q) e D é a região delimitada por C. No nosso caso, P = x^2 e Q = x + y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (x + y)partial x = 1
partial Ppartial y = partial (x^2)partial y = 0
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - 0 = 1

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região D, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1). A região pode ser descrita por:
0 <= x <= 1
0 <= y <= x
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 1 , dx,dy
Isso significa que estamos calculando a área do triângulo D.

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integralx=0^1 integraly=0^x 1 , dy,dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integraly=0^x 1 , dy = y |0^x = x
Agora, integramos em relação a x:
integralx=0^1 x , dx = 12x^2 |0^1 = 12(1^2 - 0) = 12

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é 12.

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