Calcule para onde é a fronteira do triângulo de vértices e , orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral de linha , onde . A curva é a borda de um triângulo com vértices em , e , orientada anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha a uma integral dupla sobre a região interior da curva. Então, precisamos conhecer cálculo vetorial básico e o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que:
Onde e é a região delimitada por . No nosso caso, e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região , que é o triângulo com vértices em , e . A região pode ser descrita por:
Então, a integral dupla fica:
Isso significa que estamos calculando a área do triângulo .